Tierra de números

El concepto de número complejo no va a surgir como una necesidad real del hombre para conocer y observar el universo, sino de una necesidad puramente algebraica, en el contexto de la resolución de ecuaciones. No obstante, el desarrollo de la teoría de números complejos y, sobre todo, la teoría de funciones complejas, tienen en la actualidad numerosas e importantes aplicaciones a la física y a la ingeniería. Gracias a los complejos se describen las ondas electromagnéticas, los circuitos eléctricos y se llega a ecuaciones como la de Schrödinger, que explican la teoría cuántica del átomo. Se emplean, incluso, en el diseño aeronáutico.

Girolamo Cardano

El primero en introducir los números complejos es Cardano (s. XVI), quien en su obra Ars Magna, explica cómo resolver los diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Por ejemplo, la ecuación $$x^2+1=0$$ no tiene solución en el sistema de los números reales, porque no existe unnúmero real cuyo cuadrado sea -1. A partir de Cardano, se emplearía el símbolo $$\sqrt{-1}$$ para manejar este tipo de soluciones, que aunque fueran manipuladas algebraicamente, se consideraban falsas o carentes de sentido.
Habría que esperar a Euler para dar el primer paso hacia un tratamiento formal y sistemático de los complejos. Hizo una cosa muy sencilla, utilizar el número $$i$$ como $$i=\sqrt{-1}$$, asignándole el mismo estatus de existencia que a los números reales, definiendo sus reglas operacionales.

Carl Friedrich Gauss

A principios del s. XIX, Wessel y Argand introdujeron la representación geométrica de los complejos en el plano cartesiano, de manera independiente. Poco más tarde, todavía en la primera mitad del s. XIX, Gauss y Hamilton propusieron casi al mismo tiempo la idea de definirlos como pares ordenados $$(a,b)$$ de números reales, dotados de ciertas propiedades especiales, tal y como los conocemos actualmente. Por otro lado, Gauss, en su tesis doctoral, demostró el famoso teorema fundamental del álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.
Desde ese momento, se inicia el desarrollo de la teoría de funciones complejas, de la mano de Hamilton y Cayley, quienes además crearon los sistemas hipercomplejos. Cauchy, por otro lado, sienta las bases del cálculo diferencial e integral de funciones complejas y el matemático alemán Riemann profundizaría en el estudio de la geometría partiendo de los números complejos, originando la topología.

Créditos:
Imagen de Cardano: http://wellcomeimages.org/indexplus/obf_images/ae/d3/8753d7ad74cb086ba79ccfc75e7f.jpg

No es que vayamos a poner a diseñar piezas complejas a los niños, ni que haya que introducir obligatoriamente en el aula la impresión en 3D si nos queremos llamar innovadores, simplemente porque sea una tendencia de moda. Mi visión es que se trata de otro recurso didáctico, que puede introducirse perfectamente como algo natural, pues poco a poco imprimir objetos en 3D será tan cotidiano como imprimir en una hoja de papel. Además, todo esto tiene su interés desde el punto de vista de la educación científica, y de las matemáticas en particular.
Un ejemplo podría ser la situación que se ilustra en las fotografía, que se realizó con un niño de 5 años de edad, escolarizado en segundo curso de Educación Infantil. La tarea, guiada en todo momento por uno de los autores, consistió en construir un juego sobre los animales de los polos (tema del trimestre), para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y una impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos lógico-matemáticos, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Las siluetas bidimensionales de los animales se buscaron en Internet, eligiendo el niño las que más le gustaban de cada animal, teniendo en cuenta las restricciones que se le dieron (que fueran completamente negras, que no tuvieran muchos huecos en el interior, etc. para facilitar su impresión). Posteriormente, se importaban estas siluetas en Tinkercad y se extruían para darles volumen, siendo algo que hacía el niño de forma guiada. Por último, a cada figurita se le añadía un cilindro hueco, seleccionándolo desde las formas predefinidas y modificando el tamaño a conveniencia, uniendo ambos objetos para obtener la figura final.

El uso y la intencionalidad de las prácticas era claro, el diseño y construcción de un juego sobre los animales de los polos. Y algunos objetos matemáticos que se ponen en juego son:
- Conceptos: planta (“silueta”), volumen, traslación, semejanza, cilindro, unión, diferencia lógica.
- Procedimientos: modelado de figuras tridimensionales a partir de la planta (silueta) de un objeto, composición de cuerpos en el espacio uniendo otros más sencillos.
Para saber más, el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:
Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

En mi imaginario particular, el UNO siempre ha sido uno de los juegos piscineros o veraniegos por excelencia. Resulta que tenemos a los peques un poco enganchados y me apetece escribir algo sobre el tema. Eso sí, me es inevitable empezar por la versión infantil del juego, siempre intentando ver qué cosas son aprovechables desde una perspectiva de la educación matemática.

Mi primer UNO, versión Dora

Esta claro que la carta de la mochila les gustaba bastante.

En realidad, todo comenzó hace tres veranos, con Mi primer UNO (versión Dora la Exploradora), juego al que ya se puede jugar con niños de 2 años y medio, a pesar de que en la caja pone a partir de tres. La comunidad de BGG no puntúa excesivamente bien este juego, apenas con un 4,7/10, variante del UNO que, por otro lado, tampoco recibe muy buenas puntuaciones (un 5,3 la original y un 6,6 la Get Wild).
Es una baraja en la que hay cartas de cuatro colores (rojo, verde, amarillo y azul), números del 1 al 7 y, como cartas especiales, 4 comodines y 4 "roba 2" (chúpate dos en la jerga popular). Por otro lado, son cartas de tamaño grande (king-size), cosa que en realidad no entiendo, porque si las manos de los niños son más pequeñas, ¿no debería mantenerse, por lo menos, el tamaño de las cartas?
Chorradas aparte, desde el punto de vista del aprendizaje de las matemáticas, las cartas son mejorables. Ya que está dirigido a unas edades en las que los niños tienen que desarrollar la idea de número, y no solo el reconocimiento de símbolos numéricos, hubiese estado bien que las cartas tuviesen dibujado un conjunto de personajes de un cardinal acorde con el símbolo del número representado.

¿Qué costaba que en la carta del "3" aparecieran 3 toros o 3 personajes  y en la del "6" los correspondientes 6 animalitos?

El caso es que en las cartas Roba 2, sí que salen dos cartas dibujadas, pero no aparece el correspondiente símbolo numérico.

No voy a relatar las reglas del juego, pero la idea es que gana el jugador que consigue descartarse. Para ello, hay que ir echando cartas que coinciden, bien en color, o bien en número. Cuando solamente te queda una carta, tienes que decir Uno, porque si se te pasa y te lo tienen que decir, te robas dos. El juego está bien si lo único que pretendemos es aprender a jugar por turnos, tener paciencia, estar atentos, reconocer los símbolos numéricos y los colores. De hecho, lo de reconocer los símbolos numéricos es opcional, puesto que basta con fijarse en los personajes. Por ejemplo, el "3" siempre es el toro, así que el niño puede pensar simplemente en si tiene "carta de toro" o "carta del color x". El único número que se aprende de verdad, es el uno, ya que cuando te queda una carta, debes decir uno, asociando esa palabra a un conjunto de un elemento que, además, se puede tocar.

El UNO, de las rondas sueltas a los ábacos

Partida familiar de UNO.

Las primeras partidas con los peques me resultaron algo confusas. No porque las reglas fueran complicadas, que no lo son en demasía, sino porque no estaba seguro de qué me parecía el juego. Se trata de una versión para niños del famoso Los colonos de Catán (sí, es famoso, si has llegado aquí y solamente conoces Monopoly, Party y ya ves el Risk como algo de otro mundo, sigue explorando internet). Así que lo que nos vamos a encontrar son diferentes tipos de recursos que habrá que gestionar para hacer lo que nos interese. De hecho, si ya se han jugado unas pocas partidas, se pueden introducir los tratos para intercambiar recursos y hacerlo más emocionante.

En el fondo, sí que hay un buen conjunto de reglas...

Comienzo de la partida, con una ficha de cada tipo en los salvavidas, el pirata rapaz en el centro y las dos guaridas y los dos barcos iniciales en sus emplazamientos.

Pero se pillan enseguida. Aquí solamente las resumiremos. Gana el jugador que primero construye todas sus guaridas y, para ello, hay que ir aumentando también la flota de barcos y así poder abrir nuevas rutas:
- En cada turno, se lanza el dado, y en función de lo que salga te tocan unos recursos (oro, sable, madera, oveja o piña) o aparece en escena el pirata rapaz.
- Siempre puede cambiarse, una sola vez por turno, una ficha de recurso por una de los salvavidas.
- Siempre pueden cambiarse, las veces que se deseen, dos fichas de recurso por una de la reserva general.
- En cada turno se construye lo que se desee (guarida o barco) o se pide ayuda al loro Coco, las veces que se quiera. Pedir ayuda al loro significa que se consigue una ficha de Coco, que viene con sorpresa (recursos o mover al pirata rapaz).
- El que más fichas de Coco tenga, pone una guarida sin coste en el centro del tablero. Si alguien consigue más fichas, esa guarida se cambia. Y si hay dos jugadores con el mismo número de fichas, no se pone guarida.
Y más o menos, eso es todo. La cosa es sencilla porque cada jugador dispone de una tarjeta de ayuda que indica los recursos necesarios para cada cosa:

Ficha de ayuda que indica los recursos necesarios para hacer una guarida, un barco o pedir ayuda a Coco.

¿Qué se aprende?

Para empezar, en este juego interviene bastante el azar. Como hemos visto, los recursos de los que dispondrás para poder hacer cosas dependen del numerito que salga en el dado. Ahora bien, luego hay que utilizar esos recursos de la forma más conveniente, que es donde interviene la gestión del riesgo y la riqueza educativa del juego. Algunas decisiones que pueden tomarse en un momento dado y ser cruciales son:
- Lugares de emplazamiento de las nuevas guaridas y rutas de navegación. Podemos elegir entre intentar fastidiar a otro jugador, cerrando sus rutas y construyendo guaridas para bloquearle, o bien podemos optar por trazar rutas más tranquilas.
- Pedir ayuda al loro Coco o no. Sí, conseguimos fichas y recursos, pero son recursos que no empleamos en barcos o guaridas.
- Construir un barco en lugar de una guarida, o al revés.
Por supuesto, hay que estar atento al número que sale en el dado, porque los recursos dependen de ello, y si un jugador se despista, luego no puede reclamarlos.

Intercambiando un recurso de los salvavidas.

Edad a partir de la que se puede jugar

Con niños de 5 o 6 años se puede jugar perfectamente (la caja pone a partir de 6 años), con un adulto que lleve las riendas del tinglado. Mejor, claro está, si ya están habituados a otros juegos por turnos, porque una partida se puede ir a la media hora de duración, sobre todo si los jugadores jóvenes se lo piensan mucho. Un niño de 4 años puede seguir la partida, pero habrá que ayudarle, ya que hay múltiples distractores en el juego como para que se pierda (que quiera utilizar siempre la ayuda del loro, por ejemplo).
A partir de los 8 años, ya sería buena idea jugar al Catán de verdad, que tiene más intríngulis. No en vano, la comunidad de BGG parece recomendar también esta edad.

Fin de la partida y jugador azul más que contento.