Tierra de números

Es muy, pero que muy importante conectar registros y representaciones diferentes de un mismo objeto matemático. Por registros entendemos el registro verbal natural, el gráfico, el simbólico-numérico, el simbólico-algebraico, etc. Por representaciones, por ejemplo, diferentes expresiones algebraicas equivalentes. O diferentes gráficos sobre un mismo problema.

Voy a dejar aquí el material para llevar a cabo una sesión de visualización de descomposición de números, con sus factorizaciones y sus potencias (descargables al final). Se trata del problema de contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande. A partir de este problema, para lo que me he inspirado en el libro de Problemates de Lluís Segarra (de hecho, la primera configuración que se plantea es exactamente la misma que aparece en el libro).

Antes de realizar la tarea que propongo en esta sesión, es preferible haber realizado alguna más de visualización de operaciones, como la que muestro en la imagen de cabecera. Con los policubos, o regletas, o cualquier otro material, se trata de componer números y escribir las operaciones que conducen a ellos. Viendo que, precisamente, el dos al cubo se llama así porque...¡es un cubo!
Nota: las configuraciones las he dibujado con https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Isometric-Drawing-Tool/, enlace que he compartido con ellos y que hemos usado en clase para ayudar con la visualización. 

El problema de contar cubitos

Dejamos tiempo. De hecho, yo lo propuse como tarea para el siguiente día. Y algunos alumnos consiguieron ver que faltaban 42 cubitos, pero otros no. Así que la siguiente sesión comenzó mostrando una posible visualización, prestando especial atención a la expresión aritmética que representa esa forma de contar.

Y después, la ficha con la tarea. Hay que pintar sobre cada una de las configuraciones y escribir en el recuadro la expresión correspondiente. También les entrego una hoja con un geoplano isométrico para la segunda parte. Conviene observar que esta tarea es un ejemplo claro de atención a la diversidad, cosa que no siempre conseguimos. Los alumnos que visualizan con más facilidad, tienen que buscar más expresiones para una misma configuración. Por ejemplo, contando los que hay en lugar de los que faltan.


DESCARGABLES:
Ficha con el problema de contar cubitos, lista para imprimir.
Geoplano isométrico.

¡Un saludo y feliz clase!

Escribo sobre algo que ya he publicado como hilo en Twitter, pero que quiero desarrollar un poquito más. También, para que quede constancia en mi querido blog. Vamos allá.
Hay ciertas cosas que no deberían oírse en congresos de innovación educativa ni en broma porque no ayudan, pero que se oyen. En concreto:


Si te estás preguntando en qué congreso ocurrió esto, da igual. No importa ni dónde fue, ni quién soltó esa afirmación. Aunque está basado en hechos reales (de hecho, la frase es literal), tampoco importaría que me la hubiese inventado como excusa para escribir esto.

Y es que en el panorama de los congresos y jornadas de innovación se cuelan muchas pseudociencias y opinólogos, que hacen que algunas mesas redondas parezcan más un sálvame educativo (lo que quiera que sea eso, escribo de oídas) que otra cosa. Siempre pongo como ejemplo el tema de las inteligencias múltiples, a ver si desaparece ya de la escena y nos dejan de dar la turra con él. De todas maneras, sobre esto ya escribió Marta Ferrero en su blog, donde encontraréis referencias para tener a mano y, en cualquier caso, aquí solo hace falta el sentido común.

Pero lo del cansancio con los estudios científicos va más allá. Porque lo triste es que después de esta intervención hubo aplausos. Sí, aplausos multitudinarios ante una respuesta capaz de destrozar el cuñadómetro. Evidentemente, las ciencias de la educación, y todas las didácticas específicas, se engloban dentro de las llamadas ciencias sociales, cuyos métodos e investigaciones implican una toma de posición. Así, hay muchas maneras de definir «rendimiento académico» y de evaluarlo. Se asumen unos presupuestos sobre los que, normalmente hay un amplio consenso social, y entonces se investiga. Con los métodos propios de estas disciplinas. Por ejemplo, en educación matemática se puede partir de que los alumnos deben conocerlas con comprensión, incidiendo en los aspectos conceptuales. O no, porque aunque tal como lo he redactado pudiera parecer que sobre eso está todo el mundo de acuerdo, no es así. Siempre está el compromiso entre los aspectos conceptuales y procedimentales (dicho muy a grosso modo). O la diferencia entre enseñar para, sobre o a través de la resolución de problemas.

Lo que NO SE PUEDE HACER es desprestigiar, así a las bravas, los estudios científicos. Mucho menos ante de un auditorio lleno de maestros y profes, tanto en formación como en ejercicio. Porque ya me dirás cómo deja eso a las facultades de educación.



Para que quede claro, y ya termino. Estos trabajos, que tanto cansancio parecen producir, son la única forma de evitar el #amimefuncionismo.

La utilización de las TIC en nuestras clases puede responder a diversos propósitos. Estando claro que no hay que introducirlas porque sí, podemos distinguir entre herramientas generalistas, como Moodle o Edmodo, de carácter organizativo; o Kahoot, con el que se consiguen interacciones de aula que pueden resultar atractivas de cuando en cuando. Sin embargo, la dinámica de uso de todas estas herramientas es la misma sea cual sea la materia. Me explico, da lo mismo si estamos enseñando historia, lengua, música o matemáticas. O lo que sea.
Sin desdeñar estas herramientas (soy el primero en usarlas), siento más interés por otras que sí que afectan en cómo aprenden nuestros alumnos. En los significados que adquieren. El ejemplo más claro en matemáticas es Geogebra. Esta entrada la voy a dedicar a otro software con elementos de geometría dinámica, Desmos, que también añade la posibilidad de plantear secuencias didácticas muy interesantes. Vale, algunas de ellas pueden llevarse a cabo sin TIC, como el polígrafo, sí, pero Desmos lo facilita mucho. Y otras conjugan la potencia de la geometría dinámica con discusiones de aula muy ricas.

¿Qué es Desmos?

Realmente, Desmos se compone de diferentes aplicaciones:
- Una calculadora gráfica. 
- Una calculadora con cuatro campos de entrada que se pueden relacionar de forma interactiva.
- Una calculadora científica.
- Una herramienta de geometría dinámica.
Sin embargo, el factor diferenciador de Desmos son las actividades y secuencias didácticas que ofrece, ya preparadas para su utilización y edición. Comentaremos a continuación las más TOP.

Las canicas

Supongamos que echamos un vistazo a la lista de las actividades más populares y que elegimos Marbleslides: Lines. La descripción inicial indica la duración aproximada (45-60 minutos) e incluye una breve explicación y se clasifica a las actividades por tipos: introducción, desarrollo, para practicar o para aplicar. Marbleslides: Lines es una actividad de desarrollo, con la que los estudiantes pueden profundizar en lo que significan los parámetros de la ecuación de una recta, o cómo expresar restricciones en el dominio de estas. En este caso nos encontramos con una guía para el profesor, imprimible y que refleja una serie de buenas prácticas y consejos para pautar la actividad:

Tips para el profesor.

Aquí, por ejemplo, se señala la conveniencia de comenzar con lenguaje matemático informal e ir incorporando poco a poco respuestas más formales. En otras palabras, puede decirse que el diseño de la actividad tiene en cuenta el proceso de negociación de significados que caracteriza, por ejemplo, al aprendizaje basado en problemas. Es a partir de las tareas propuestas que emergen los objetos matemáticos considerados en los contenidos. El significado de estos objetos difiere según las situaciones, pero también varía entre los individuos y las instituciones de referencia. Así, ante una fracción como 3/4, un alumno puede estar pensando en los 3 trozos que se ha comido de una tarta dividida en 4 partes; mientras que otro directamente piensa en 0,75; y el docente puede estar pensando en el número racional. El diseño de las secuencias didácticas en Desmos reserva momentos para evaluar estos significados personales, permitiendo negociarlos a través de las sucesivas tareas. 

Una de las tareas de Marbleslides: Lines.

Dos posibles soluciones para una pantalla.

No todas las tareas que componen la actividad son iguales. En las primeras pantallas se proporciona la expresión de alguna función lineal y únicamente hay que cambiar algún parámetro. En las siguientes pantallas se trata de predecir lo que ocurrirá si se cambia el parámetro indicado y de comprobarlo. Las respuestas de los estudiantes pasan a estar disponibles para todos los demás, de manera que cuando llega la puesta en común, todos están al corriente de lo que han puesto los compañeros que han llegado antes a esa tarea. Las últimas pantallas son retos (challenges) en los que los alumnos deben introducir las expresiones que consideren oportunas.

Predecir lo que ocurrirá en cada caso y comprobarlo.

Aterrizando el avión (Landing the plane)

El polígrafo

Se trata de un quién es quién en toda regla y es una de las actividades más populares en Desmos, siendo fácilmente editable. De hecho, esto último es la gran ventaja que ofrece respecto a la versión física. Hay polígrafos subidos por otros profesores sobre los más variados contenidos (una búsqueda en septiembre de 2018 devuelve nada menos que 56 polígrafos). 
La siguiente captura de pantalla es del polígrafo de parábolas. Al igual que el quién es quién, se juega por parejas. Es decir, un ordenador para un estudiante o pareja y otro para otro. Conforme se van registrando los alumnos en la actividad, la propia plataforma los va emparejando para jugar. Se juega por turnos, de manera que una vez es un estudiante el que tiene que adivinar el objeto oculto, haciendo las preguntas necesarias. Estas cuestiones deben formularse de forma que se puedan responder con un sí o un no. 

Los polígrafos son una excelente actividad de introducción, ya que permiten evaluar el conocimiento previo del alumnado, qué términos emplean, cómo describen los objetos matemáticos, etc. Por otro lado, también se pueden utilizar como actividad de desarrollo. No en vano, en el linear bundle, en el que se enmarcan la actividad de las canicas y la del avión, se incluyen dos polígrafos, uno como actividad de introducción y otro como desarrollo.

Representando historias gráficamente (Graphing stories)

Unos comentarios finales

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Beltrán-Pellicer, P. (2018). Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en  Desmos. Entorno Abierto, Boletín Digital de la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemática, 24, 4-10.

El curso pasado, de septiembre a diciembre de 2017, estuve tuiteando una cita diaria sobre didáctica de las matemáticas con el hashtag #DidMatCita17. Creo que fue algo interesante, que motiva la reflexión y que da a conocer qué es lo que se investiga en el área, trabajos recientes, y alguna propuesta de enseñanza y aprendizaje bien fundamentada. Esta experiencia me resultó enriquecedora, así que voy a tratar de continuar, a otro ritmo, la iniciativa con la etiqueta #DidMatCita, que ya hemos usado (poco, la verdad) @giacoss, @ljrguezmuniz y un servidor durante este 2018 y al que estáis todos invitados a participar. Ya sabéis, si os encontráis leyendo un artículo y pensáis que os ha resultado interesante, o que puede serlo para alguien, basta con una pequeña captura y citar la fuente.
Por otro lado, desde este verano me ha dado por tuitear las actividades que encuentro por ahí y que considero que son ricas. Muchas proceden de #MTBoS o de #iteachmath, así que no es que esté descubriendo nada nuevo. Igualmente, como no me aclaro ni yo mismo y para facilitar la búsqueda he empezado a utilizar el hashtag #AcRiMates (Actividades Ricas de Matemáticas). Y ahí lo dejo.

Sirva como aperitivo el podio de las #DidMatCita17 (las más vistas):

Nunca he llevado un cuaderno del profesor estilo tríplex, aunque le veo su encanto. De verdad, he visto auténticas maravillas de la mano de compañeros de centro. Y a mí me gusta el papel, para mí es el mejor sitio para poner en orden mis ideas. Pero claro, también tengo debilidad por las TIC. Entonces, ¿cómo he realizado mis anotaciones estos años? Bueno, de forma un poco caótica, aunque funcional. Por un lado, lo que es el registro de las tareas, las calificaciones, etc. siempre lo he llevado en una hoja de cálculo. He probado diferentes cuadernos digitales del profesor, algunos de ellos hojas de cálculo propiamente dichas, otros aplicaciones para móvil. Y sigo encontrándome más cómodo con una hoja de cálculo, sea en Excel, Drive o LibreOffice, que pueda modificar cuando quiera. Eso es cuestión de gustos, pero la potencia del mundo digital para calcular medias es indiscutible.

Por otro lado, las anotaciones en el aula las he llevado en papel casi siempre. Bien en cuaderno, bien en hojas sueltas con el listado de alumnos sin más. Aunque hubo un curso que comencé utilizando una app en el móvil para la asistencia, para mí es más ágil y rápido el papel.

Así que este curso utilizaré un cuaderno en papel, minimalista, de aula, pero con todo lo necesario; y una hoja de cálculo para tareas y calificaciones, medias, etc. Esto último, o será el Cuaderno virtual del profesor (que ya he usado en otras ocasiones) o algo similar.

La plantilla que se prometía en el título

Aunque no es una maravilla, dejo aquí una plantilla (muy, muy tonta) de hoja de cálculo para imprimir un cuaderno o diario de clase del profesor en tamaño A5, editable, para modificarla al gusto de cada uno:

Cuando la abras, verás que es un libro con tres hojas:


En cada columna podemos llevar un registro de asistencia y de las tareas realizadas. En las celdas oblicuas se puede poner el nombre de la actividad, la fecha, etc. Personalmente, me decanto por la opción A, que incluye espacio para escribir un mini diario de clase, con las tareas pendientes y observaciones. Si optamos por emplear la versión B, será necesario (o recomendable), llevar una libreta o agenda aparte para estos menesteres.

Instrucciones de impresión

En primer lugar, lo ideal para no andar luego con pegamento para la lista del alumnado de cada grupo, es imprimir las hojas del cuaderno ya con los nombres de los estudiantes. Siempre habrá alguno que se incorpore o cause baja, y no pasa nada, se añade a mano o se tacha cuando toque. Así que lo mejor es, una vez hemos elegido la versión que queremos (A o B), hacer tantas copias de la hoja en cuestión como grupos llevemos, poner los nombres de los alumnos e imprimir 14-15 de cada una, si es versión A, o 7-8 si es la versión B. Para esto, hay que echar cuentas dependiendo del número de sesiones semanales y añadir un pequeño margen. Finalmente, la última hoja llevará por el derecho una Versión A o B, y por el revés la portada/contraportada. De esta forma, al plegar el taco de hojas por la mitad, nos quedará tipo cuaderno, que podremos grapar o coser.

Dije en Twitter que haría reseña de Virus!, así que allá va. Intentaré decir algo, como siempre que comento algún juego, sobre sus posibilidades didácticas, recordando que para pasar un buen rato no hace falta instrumentalizar ningún juego. Es un juego de cartas de 2 a 6 jugadores, y en la cajita pone que la edad recomendada es a partir de 8 años. En esto me permito discrepar frontalmente. Como veremos, es un juego muy, pero que muy fácil de explicar. Vale que mis sujetos de experimentación no sean muy representativos, pero yo diría que a partir de 4 años se puede jugar sin problemas. En la cajita también pone que la duración de cada partida es de unos 20 minutos. Nuestras partidas han sido de 2-4 jugadores, y no han pasado de 10 minutos en ninguna ocasión. Sin embargo, es posible que con más jugadores jugando a malmeter (que realmente es de lo que consiste este juego), puedan alargarse algo más.

¿De qué va el juego?

La cajita viene con dos espacios para meter las 68 cartas (y dos adicionales para inventar nuevas reglas). Las cartas se clasifican en:
- Órganos
- Virus
- Medicinas
- Tratamientos
Por si los estupendos dibujos de las cartas no lo dejan claro, todas estas cartas vienen con un símbolo en la esquina superior izquierda para distinguir su tipo: un corazoncito, una especie de virus, una píldora y una cruz.
Hay cuatro colores para los órganos, los virus y las medicinas; rojo para el corazón, azul para el cerebro, amarillo para los huesos y verde para el estómago. Y también hay un órgano multicolor, que funciona como comodín.
Al principio de la partida se baraja el mazo y se reparten 3 cartas a cada jugador. En cada turno se elige entre jugar una carta o descartarse de las que se quiera. Después, se roba del mazo para volver a tener 3 cartas al finalizar el turno. Para jugar una carta lo que se hace es colocarla o bien enfrente tuyo (órganos o medicinas sobre estos) o bien enfrente de otro jugador (virus sobre los órganos de los demás). Gana el jugador que consigue tener cuatro órganos sanos (sin virus).
Hay que tener en cuenta que los virus de un color determinado solo pueden atacar a órganos de ese color, mientras que las medicinas de un color en concreto solo pueden sanar, vacunar o inmunizar órganos de ese color. Por otro lado, sobre el órgano multicolor puede actuar cualquier virus y cualquier medicina. Una medicina puede curar una enfermedad (retirar una carta de virus sobre un órgano), vacunar (esta carta de medicina se podrá quitar con un virus a posteriori) o inmunizar (si se consiguen poner dos cartas de medicina sobre un órgano).

Falta por contar qué hacen las cartas de tratamiento. Junto con los virus, son las que se utilizan para fastidiar a los demás jugadores. Está el ladrón de órganos, para quitarle un órgano no inmunizado a otro jugador y quedártelo tú; el transplante, para intercambiar órganos; el contagio, coloquialmente conocido como ¡achís! o ¡achú! y que sirve para pasar los virus de tus órganos a otros jugadores; el guante de látex, para hacer perder turno y mano a los demás jugadores (muy gráfico el dibujo); y el error médico o cambio de expediente, para intercambiar todos tus órganos por los de otro jugador.

Dicho esto, creo que estamos ante un juego piscinero. Es fácil de explicar y divertido. Las risas están aseguradas, ya que se trata de fastidiar a los demás jugadores. Sirva de muestra el diálogo de ayer:
- Niño a adulto: ¡Ponme el virus!, ¡ponme el virus!
- Adulto: ¿Ein? No sé, venga, toma...
- Niño: ¡Achú! -Es decir, juega la carta de contagio, devolviéndole el virus que le acaba de poner, junto con el resto que tenía. Y gana la partida. Y se parte de la risa.

Y las posibilidades didácticas, qué

A pesar de que las impresoras en 3D utilizan una tecnología conocida ya desde hace tiempo, es en los últimos años cuando se han comenzado a extender entre el gran público, mostrando un amplio rango de aplicaciones. Las causas de este auge hay que buscarlas, en primer lugar, en lo asequible que resulta adquirir uno de estos aparatos. Para ello, ni siquiera hemos de ir a comercios especializados, basta con acudir a un centro comercial o comprarla en Internet.

Comunidades y clones

Por otro lado, de forma previa y anticipando esta popularización de la tecnología, surgieron comunidades formadas por personas interesadas en la impresión en 3D, tanto a nivel profesional como amateur. En el seno de estas comunidades han ido surgiendo modelos de impresoras cuyo diseño se compartía libremente. De esta forma, alguien que desee construirse una de estas máquinas, puede hacerlo teniendo en cuenta esos diseños, encontrar a alguien que le imprima -normalmente, de manera altruista- las piezas de plástico necesarias, y comprar el resto.

Las máquinas RepRap (Replicating Rapid-prototyper) fueron inventadas por Adrian Bowyer, apareciendo esta idea por primera vez en Internet en 2004 y, no en vano, es en torno a la web RepRap.org que se ha creado la que posiblemente sea la comunidad más importante. El árbol genealógico de la rama española, iniciado por Juan «Obijuan» González Gómez y Andrés Prieto en 2009, puede verse en el Imperio de los Clones.

Y en matemáticas, qué

Aunque esto de las impresoras 3D dé mucho juego -obviamente- en asignaturas como Tecnología, el proceso de fabricación de un objeto está lleno de matemáticas. A continuación, introducimos brevemente algunas tareas que hemos propuesto @crjaso y un servidor (que están descritas en más detalle aquí y aquí):

Montaje de una impresora

@crjaso realizó este proyecto con un grupo de alumnos de 3º de ESO (programa de diversificación) durante todo un curso, persiguiendo objetivos de aprendizaje transversales. Por un lado, para los alumnos participantes:
- Que aplicaran sus conocimientos científico-tecnológicos en el proceso de montaje y calibración de la impresora
- Que desarrollaran su capacidad de expresión en público.
Por otro lado, el taller trata de acercar la tecnología de modelado e impresión en 3D al resto del alumnado del centro, transmitiendo los valores de aprender por aprender y la cultura del software libre. Todos los viernes, durante el recreo, el taller de tecnología se convirtió en un lugar de entrada libre donde se explicaban los progresos.
La apertura del proyecto al resto de alumnado, permitió flexibilizar las actividades para adaptarlas a otros niveles, como programar la impresora para que dibujara. Para ello, se acopló en el cabezal de la impresora un rotulador de forma que esta se podía programar para que dibujara sobre un papel colocado en la base. Puesto que este tipo de impresora es de tipo “cartesiana”, se aprovechó el momento para en el aula dar el tema de funciones y el plano, haciendo hincapié en las coordenadas de los puntos del plano.

Conceptos geométricos

Relacionando geometría, fabricación y probabilidad

Y de paso, articular significado frecuencial y clásico de la probabilidad. En este caso, la tarea la propuse yo con otro grupo de 2º de ESO, de forma voluntaria en la asignatura de matemáticas, durante la unidad didáctica de cuerpos geométricos, aunque el objetivo final era detectar intuiciones primarias erróneas y sesgos en el razonamiento probabilístico de los alumnos. La consigna fue:

Y en educación infantil también

La cuarta y última de las situaciones se realizó con un niño de 5 años de edad (segundo curso de Educación Infantil). La tarea consistió en construir un juego sobre los animales de los polos, para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y la impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos, desde el punto de vista lógico-matemático, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Para terminar

Para saber más, os invitamos a leer el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:
Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

La experiencia del dado está descrita en detalle en este otro artículo: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Curiosidad: en el Imperio de los Clones puede verse que la máquina de Carlos es el clon #409, Vulcano, mientras que la mía es el clon  #541, Vega, descendiente de la de Carlos.

Un paraninfo es la sala de una universidad destinada a la celebración de actos públicos. Por ejemplo, los actos protocolarios de comienzo de curso, premios extraordinarios o cosas por el estilo. En otras palabras, más musicales, es el lugar donde suele cantarse el gaudeamus igitur. El Paraninfo de la Universidad de Zaragoza, inaugurado el 18 de octubre de 1893, es el edificio más antiguo de dicha institución. Sí, el más antiguo, a pesar de que esta institución fue fundada en 1542 por Pedro Cerbuna. Tal vez por este motivo, se ha convertido en uno de los emblemas actuales de la universidad, junto con el escudo.

No pretendo extenderme demasiado con la descripción de nuestro querido Paraninfo, pues para ello basta acudir a la bibliografía que cito al final, en particular, a los detallados trabajos del profesor Fatás. Sin embargo, ya que hace un año tuvimos que documentarnos un poquito para ejercer de guías en el XXI Simposio de la SEIEM, voy a dejar aquí alguna de las anotaciones de entonces. Sobre todo, porque así completo una de las anécdotas que cuento todos los años: ¿no has visto el teorema de Pitágoras en el Paraninfo? 

Edificio y fachadas

- El arquitecto fue Ricardo Magdalena, y el escultor de casi todas las obras, Dionisio Lasuén. De Jaime Lluch son, al menos, las estatuas de Piquer y Delhuyar de la entrada principal. Y la impresionante escultura de Ramón y Cajal, ya dentro y gobernando las imponentes escaleras, es obra de Mariano Benlliure, a la sazón uno de los artistas más importantes de entonces (esa estatua, cosa rara en el artista, va firmada en una de las esquinas inferiores).
- En la entrada principal, bajo la mirada de Atenea (Minerva), diosa de la Sabiduría entre otras cosas, se encuentran las estatuas de: Andrés Piquer (médico turolense), Miguel Servet (teólogo y científico oscense), Jordán de Asso (naturalista, jurista e historiador zaragozano) y de Fausto Delhuyar (químico e ingeniero de minas de Logroño).
- En los medallones de las fachadas no encontramos a ninguna mujer. Tampoco están, por ejemplo, Darwin (y sí Lamarck) ni Leibniz.
- Antiguamente, la universidad de Zaragoza se encontraba en el barrio de la Magdalena. Fue durante Los Sitios de la Guerra de la Independencia cuando se volaron muchos de los edificios, quedando en estado ruinoso.
- La ley Moyano no permitía que hubiera facultades de ciencias fuera de Madrid. Fue gracias a su derogación que pudo contruirse la Facultad de Ciencias y Medicina (ahora Paraninfo).
- El Paraninfo, en el momento de su inauguración, se encontraba extramuros.
- Visto de frente, el edificio dedica el ala izquierda a la medicina y el ala derecha a las ciencias. En el interior se mantiene esta división.

El paraninfo del Paraninfo

- El paraninfo (la sala en sí) tiene algunos cuadros procedentes del Museo del Prado. Dos son retratos reyes castellanos, dos óleos de María Luisa de la Riva y un cuadro que muestra al rey godo Sisenando, obra de Bernardino Montañes.
- El cuadro de Sisenando es el único que guarda algún tipo de relación con Zaragoza, ya que fue el primer rey godo coronado en Zaragoza el 26 de marzo del año 631, justo el mismo año en que San Braulio (patrón de la universidad) comenzó a gobernar la diócesis y el mismo día que le correspondería en el santoral.

Museo de Ciencias Naturales de la Universidad de Zaragoza

En el sótano se encuentra el Museo de Ciencias Naturales, inaugurado el 11 de diciembre de 2015. Esto es visita obligada en nuestra familia, ya que a nuestros peques les encanta. Lo están dinamizando mucho y organizan diversas actividades, como concursos de dibujo. Tiene página de Facebook. La exposición principal muestra el camino de la evolución desde el origen del universo hasta la aparición del Homo Sapiens.
- Realmente, el museo incluye dos colecciones, la de paleontología de la propia Universidad de Zaragoza y la “Longinos Navás”, depositada por la Compañía de Jesús en 1988, con animales naturalizados, insectos y conchas. Y un par de cuernos de unicornio ;), entre otras cosas. Los ejemplares de esta última colección fueron reunidos entre finales del siglo XIX y comienzos del XX por el científico jesuita Longinos Navás Ferrer, profesor de Historia Natural durante 46 años en el Colegio del Salvador.
- En la colección de paleontología, destacan los restos de un Arenysaurus, especie descubierta en Arén (Huesca), que data del Cretácico Superior (67 millones de años) y los del cocodrilo de Ricla, un cráneo completo de este animal marino del Jurásico, único en el mundo (170 millones de años).

Agradecimientos:
A Antonio Oller por el rato que compartimos disfrutando del Paraninfo los días previos al XXI Congreso de la SEIEM, así como a los conserjes y responsables del edificio, muy amables en todo momento con nosotros.

Para saber más:
Fatás, G. (2009). Del patrono de la Universidad de Zaragoza y de cómo fue destruida en 1809. Universidad de Zaragoza.
Fatás, G. (2009). El edificio Paraninfo de la Universidad de Zaragoza. Historia y significado iconográfico, 2ª edición. Prensas de la Universidad de Zaragoza.
Laguía M. P. (1985). La iconografía científica en la antigua Facultad de Medicina y Ciencias de Zaragoza. Cuaderno de Historia J. Zurita, 51-52, 161-291. Institución Fernando El Católico, DPZ, Zaragoza 1985.
Lomba, C. (2013). El Paraninfo, símbolo de la cultura universitaria. Artigrama, 28, 191-209. 
Sorando, J. M. (2012). Homenajes a la ciencia en Zaragoza. conCIENCIAS, 9. Universidad de Zaragoza.

El aprendizaje de los hechos de las operaciones básicas (popularmente conocidos como tablas) ha de realizarse en paralelo o, incluso, de forma posterior, a los campos de problemas que se resuelven con las mismas. En primer lugar, como maestros, no debemos dejar sin abordar determinados problemas de "suma" o de "resta" porque el alumnado no sepa sumar o restar. De hecho, es que si esperamos a que aprendan a sumar y a restar, y no hemos ido trabajando la resolución de problemas, muchos alumnos tienden a jugársela; es decir, tomar los dos números del enunciado y decidirse al azar por una suma o una resta. Tampoco ayuda que, muchas veces, todos los "problemas" de una ficha determinada sean del mismo tipo. El niño o niña, que no es tonto, aprende enseguida a identificar los dos números en juego y a sumarlos (o restarlos).
Dicho esto, a la vez que se trabajan situaciones aditivas y diferentes estrategias, la secuencia de aprendizaje puede incluir actividades como la construcción de la tabla de la suma. En una plantilla como esta, el alumno escribe cada resultado, de manera que los que no conoce, los calcula contando. Una vez terminada, la ficha permite explorar los hechos numéricos; por ejemplo, coloreando aquellas que son equivalentes.
Y hablando de colorear. Una actividad de carácter procedimental para practicar los hechos numéricos que permitirán coger habilidad en el cálculo, pero más motivadora que cantar la tabla, es la de colorear una hoja de cuentas para descubrir un dibujo. Siempre podemos diseñar nosotros mismos estas hojas, pero en la web ColoringSquared hay un montón de fichas descargables en formato pdf para llegar y usar. Y con muchos temas para elegir: Star Wars, superhéroes, Harry Potter, etc.

Ahora que ya han pasado las oposiciones y hemos podido descansar, es hora de retomar tareas pendientes y más útiles para la sociedad. Una, la de actualizar más a menudo este blog. A todo esto, sigo pensando que lo que necesita la educación son docentes, no opositores. Al menos, tal y como está concebido el proceso actual. Pero ya dedicaremos una entrada al tema en cuestión.
Hoy venía a hablar de la secretaría de convivencia. Al igual que el examen de cuaderno, la idea de la secretaría de convivencia no es mía. A mí me llegó de la mano de CarlosRJ. Sí que me he convertido, en algún IES, en una especie de predicador de su utilidad, sobre todo con ciertos grupos.

La secretaría de convivencia es un contrato pedagógico

Conclusiones

Créditos: Foto de Tarjeta de visita creado por jcomp

Tras haber dedicado el primer artículo de la sección Matemáticas animadas de la revista EDMA0-6  a una serie con un claro contenido matemático como Equipo Umizoomi, la idea era continuar con ejemplos de cómo aparecen ciertos objetos matemáticos en producciones sin esa intención didáctica. Sin embargo, resulta que, durante el verano pasado, llegó una serie a las pantallas españolas que también tiene a las matemáticas como protagonista. Se trata de Peg+Gato. Al estar todavía emitiéndose y con nuevas temporadas en producción, estamos ante una buena oportunidad para dar a conocer esta serie, analizando la estructura de los episodios y el contenido matemático que aparece.

Al igual que Equipo Umizoomi, Peg+Gato es una serie de dibujos que se distribuye en canales de entretenimiento, pero tiene tanto contenido matemático que es innegable que posee cierta intención didáctica. Su producción es estadounidense-canadiense y en 2016 obtuvo dos premios Emmy, a la mejor dirección y composición musical y al mejor guion de series de animación infantiles.

¿Cuál es el público objetivo?

Está dirigido para edades de entre 3 y 5 años, según la productora y el canal de distribución original PBS Kids. En Latinoamérica, Peg+Gato la distribuye Discovery Kids, que se hace eco de dicha clasificación. En cambio, en España, Clan TV la recomienda para preescolar, categoría que define para edades comprendidas entre 0 y 3 años. Esto no deja de ser chocante, porque tanto el contenido matemático como las historias que cuenta son claramente para mayores de 3 años. Según el sistema de clasificación de Clan TV, el término infantil se reserva para edades entre 4 y 6 años y junior para referirnos a mayores de 7 años. Por lo tanto, sería más apropiado clasificar Peg+Gato en la categoría que Clan TV llama infantil.

Narrativa transmedia: serie de dibujos, actividades, apps...

Realmente, para ser precisos, Peg+Gato es lo que hoy en día se conoce como narrativa transmedia. Es decir, la serie de dibujos en sí es solamente una pieza de un puzle mucho mayor, que se completa con la aplicación para dispositivos móviles, juegos en línea, actividades para descargar, los propios libros, etc.
Para la producción de la serie han tenido en cuenta, como consultor matemático, a Francis (Skip) Fennell, quien fuera presidente del NCTM de 2006 a 2008 y autor de diversas publicaciones en didáctica de las matemáticas. Por otro lado, Moorthy, Hupert, Llorente y Pasnik (2014) llevaron a cabo un estudio, como evaluadores externos de la iniciativa Ready to Learn del Departamento de Educación de los EE. UU. La muestra estaba compuesta por 59 niños de 4 años que interactuaron en cinco sesiones de menos de una hora de duración con una serie de vídeos de Peg+Gato y juegos interactivos. Los investigadores analizaron tres dimensiones: el aprendizaje de los niños, las expectativas de los padres y la motivación o compromiso (engagement) hacia las actividades.
Aunque los resultados fueron mejores en el post-test que en el pre-test, no son concluyentes. Solamente algunos ítems, como la identificación de una forma 3D (en concreto, cilindros) fueron significativamente superiores en el post-test. Los investigadores del estudio señalan que la causa posiblemente sea que se dedica un tiempo mayor al tratamiento de este contenido a lo largo de la sesión. Finalmente, podemos decir que, si bien los resultados son ciertamente positivos, varían dependiendo del episodio elegido y, por lo tanto, de la atención que recibe cada objeto matemático. Lo ideal, desde nuestro punto de vista, es que el visionado promueva interacciones y situaciones que permitan profundizar en el tratamiento del contenido matemático.

Características de Peg+Gato 

Los objetos matemáticos aparecen entrelazados perfectamente con la historia que se cuenta en cada episodio, cuya duración es de unos 12 minutos. Una de las cosas que llama enseguida la atención, a los ojos de una persona adulta, es la intencionalidad educativo-matemática. Esta primera impresión se justifica, sin lugar a duda, por los elementos gráficos que componen las sucesivas escenas. Prácticamente en todo momento, observamos un papel cuadriculado como fondo, con complicadas expresiones matemáticas a medio borrar y nubes dibujadas como símbolos de infinito. En los libros originales, este ambiente matemático va un paso más allá, ya que los números que indican las páginas no son tales, sino pequeñas expresiones. Por ejemplo, 25+1=26.

Sin embargo, la realidad es bien distinta. Todo ese trasfondo matemático resulta, en su mayor parte, transparente para los niños a los que va dirigida. Los símbolos de infinito son meras nubes y las complicadas fórmulas son simples garabatos. Obviamente, si a un niño se le pregunta si salen matemáticas en Peg+Gato, contestará afirmativamente, ya que, en varias ocasiones, Peg o Gato remarcan esta presencia de forma literal: "Las matemáticas nos han ayudado a resolver el problema". Además, muchos contenidos coinciden con los que se trabajan en la escuela, como recitados, conteos, medida, formas, etc.

Personajes 

Los personajes principales son Peg y Gato. Peg es una niña que siempre lleva un gorro de color rojo, donde oculta una pequeña esfera azul que le ayuda a pensar. Ella es la encargada, en cada episodio, de explicar la situación inicial a los niños espectadores. La rotura de la cuarta pared presenta diferencias con respecto al que se da en Dora, la exploradora y otras series similares. En Peg+Gato es más sutil, no se espera a que los niños puedan dar una respuesta. Por otro lado, una característica de Peg es que utiliza las expresiones "tenemos un gran problema" o "tenemos un problema muy, muy grande" para anunciar las situaciones principales. 
Gato es el mejor amigo de Peg y le encantan los círculos, además de la lana y los punteros láser, como dice en alguna ocasión. Normalmente, ayuda a Peg a encontrar la solución a los problemas, aunque muchas veces no se da cuenta de ello. También se encarga de recordarle a Peg que debe calmarse cuando se pone nerviosa ("me estoy volviendo loca de remate"). En dichos casos, la técnica suele consistir en recitar hacia atrás desde el 5, aunque también aparecen recitados regresivos desde el 10 de 2 en 2, o de otras formas.
Además de Peg y Gato, hay otros personajes secundarios y que aparecen de forma recurrente en la serie. Ramón, por ejemplo, suele intervenir para ayudar a Peg en la resolución de alguna situación, aportando ideas más técnicas.

Un contenido primario y otro secundario en cada episodio

Cada programa de Peg+Gato se compone de dos episodios. En lo que sigue, para facilitar la búsqueda del episodio en cuestión, utilizaremos la codificación de producción, que se encuentra disponible en el espacio web que la cadena PBS ofrece como guía para las familias.
El guion de cada uno de los episodios aborda un contenido matemático primario y uno secundario, y además aparecen otros objetos de forma más colateral. Por ejemplo, en el episodio 102a, El problema de la habitación desordenada, en el que Peg tiene que recoger la habitación antes de que llegue una visita, el contenido primario está relacionado con la clasificación (según ciertos atributos o propiedades) y el secundario son las formas de algunas figuras planas y cuerpos en el espacio. Además, hay otros elementos, como el recitado regresivo (normalmente desde 5) que efectúa Peg como técnica de relajación.

Para saber más

Beltrán-Pellicer, P.(2017).Beltrán-Pellicer, P. (2017). Análisis inicial de Peg+Gato y su tratamiento de la medida. EDMA0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(2), 72-79.