¿De dónde sale el número e?

Cualquier matemático te dirá que sale hasta en la sopa. Y es verdad, hay varios caminos que apuntan hacia ese número llamado e. Sin embargo, aquí nos vamos a centrar en uno que puede seguirse sin problemas en una clase de secundaria donde, quizá en el último curso, aparezcan los logaritmos por primera vez.
Pensemos que ingresamos 1 euro en el banco. Pero no en un banco cualquiera, sino en uno que me da el 100% de interés anual. Vamos, que al final del año voy a tener:
\[1+1=2 \]
Ahora, voy a sacar el dinero a mitad de año, cobrando los intereses correspondientes a ese medio año:
\[1+\cfrac{1}{2}\cdot 1 = 1,5 €\]
Y lo vuelvo a ingresar, obteniendo:
\[\left(1+\cfrac{1}{2}\right)+\cfrac{1}{2}\left(1+\cfrac{1}{2}\right) = \left(1+\cfrac{1}{2}\right)^2 = 2,25 €\]
¡Anda! ¡Esto es todavía mejor! ¿Y si saco el dinero todos los meses, cobrando los intereses y volviendo a ingresar el monto total? Entonces, el dinero que obtengo al final de año es:
\[ \left(1+\cfrac{1}{12}\right)^{12}=2,613 € \]
Aquí hay gato encerrado, yo esperaba cobrar más. ¡Espera! ¡Ya sé lo que tengo que hacer! Voy a sacar el dinero todos los días:
\[ \left(1+\cfrac{1}{365}\right)^{365}=2,71456748 €\]
Pues creo que no compensa el esfuerzo. No voy a pasar de 3 €. En realidad, si fuésemos capaces de hacer infinitos reingresos, tendríamos:
\[ \left(1+\cfrac{1}{n}\right)^{n}=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995\ldots\]
Número que se puede demostrar que tiene infinitos decimales no periódicos y que, por lo tanto, es irracional. Pero es tan real como el 0, el 1, o su amigo $$\pi$$.

Referencias

La foto de las monedas es de Jason Rogers y se puede descargar de aquí.