Tierra de números

Vale. LaTeX es algo que se ama o se odia. Decidí incluirlo en los contenidos del curso Matemáticas y las TIC porque creo que, por lo menos, hay que conocerlo. Por lo menos, para escribir expresiones matemáticas. Porque... algo tendrá cuando el mismo Word permita (de aquellas maneras) introducir las ecuaciones en sintaxis de LaTeX e, incluso, plataformas como Edmodo lo tienen habilitado para este fin. Personalmente, a mí lo que realmente me atrae de LaTeX, es su calidad tipográfica.

El caso es que he preparado una plantilla LaTeX, a partir de la clase de documento exam, que puede ser una forma suave de introducirse en LaTeX. Además de suave, útil, porque en menos de 5 minutos te ves diseñando tus exámenes, con sus soluciones, puntuaciones, etc. Una plantilla «pro».

A la plantilla podemos acceder directamente desde ShareLaTeX, una plataforma online donde podemos compilar directamente los documentos LaTeX en un entorno, además, colaborativo: enlace a la plantilla.

Para los que gusten de usar un editor y compilador offline, se pueden descargar el archivo aquí o echar un vistazo al documento principal:

\documentclass[addpoints,spanish, 12pt,a4paper]{exam}
% Hasta donde pone \begin{document} es lo que se conoce como preámbulo (preamble)

%% Esto es de la clase exam. Si dejamos sin comentar \printanswers, se mostraran las soluciones. 
%% Si la comentamos y dejamos sin comentar \noprintanswers, pues no se muestran las soluciones.
\printanswers
%\noprintanswers

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Idioma y codificación de texto
\PassOptionsToPackage{T1}{fontenc} 
\usepackage{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
% Cargar babel y configurar para español
\usepackage[spanish,es-lcroman, es-tabla, es-noshorthands]{babel}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%% Paquetes varios y alguna opción
\usepackage{graphicx} % Paquete necesario para incluir imágenes, cambiarles el tamaño, etc.
\usepackage{enumitem} % Para poder configurar las listas
\everymath{\displaystyle} % Esto es para que las expresiones se vean... grandes, que resulta diferente de si las queremos entre líneas.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Cosas a configurar de la clase EXAM %%%%

\author{Pablo Beltrán-Pellicer}
\pagestyle{headandfoot}
\runningheadrule
\extraheadheight{3cm}
\firstpageheader{}
                {\hspace*{-2cm}\includegraphics[height=1.6cm]{img/\string"logoDGA\string".jpg}\hspace*{10cm}\includegraphics[height=1.6cm]{img/\string"logocatedu\string".png}\\ 
                IES CATEDU, Aragón\\
                Examen de Matemáticas - Tema 2 - Polinomios\\15 de octubre, 2017
                }
                {}

\runningheader{Matemáticas}
{Examen del tema 2}
{15 de octubre, 2017}
\firstpagefooter{}{{\tiny IES CATEDU, Aragón}}{}
\runningfooter{}{{\tiny  IES CATEDU, Aragón}}{Página \thepage\ de \numpages}
\pointpoints{punto}{puntos}
\bonuspointpoints{punto extra}{puntos extra}
\hqword{Pregunta}
\hpword{Puntos}
\hsword{Calificación}
\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solución:}\par\noindent}
\pointformat{(\emph{\thepoints})}
\bonuspointformat{(\emph{\thepoints})}
\pointsinrightmargin % Para poner las puntuaciones a la derecha. Se puede cambiar. Si se comenta, sale a la izquierda.
\extrawidth{-2.4cm} %Un poquito más de margen por si ponemos textos largos.
\marginpointname{ \emph{\points}}
%\bracketedpoints

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FIN DEL PREÁMBULO %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\vspace{0.1in} %espacio vertical
\makebox[\textwidth]{Nombre:\enspace\hrulefill}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Tabla para anotar la calificación
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
    %\resizebox{\textwidth}{!}{\gradetable[h][questions]} % Esto es por si la tabla sale muy grande, para ajustarla al ancho
    \gradetable[h][questions]
\end{center}
\vspace{0.1in} % Espacio vertical


\begin{questions} % Comenzamos con las preguntas del examen
% Entre corchetes se pone la puntuación de cada una

    %Pregunta con apartados
    \question Calcula:
        \begin{parts}
            \part[1] $2+2=$
            \part[2] $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=$ 
        \end{parts}
    \begin{solution} % Aquí ponemos la solución, es opcional.
        \begin{parts}
            \part $4$
            \part $\frac{5}{4}$ 
        \end{parts}
    \end{solution}
    
    \question[1 \half] Una pregunta sin apartados.
    \question[1] Otra pregunta.
    \question[1 \half] Otra pregunta más.
    \question[3] Una pregunta más complicada.

\end{questions}

\end{document}

El siguiente paso es mantener una base de datos de preguntas de examen y tomarlas directamente de ahí. Ya escribí cómo hacerlo en su día con probsoln, y en breve dejaré por aquí un ejemplo de plantilla para combinar la potencia de la clase exam con probsoln.

Vamos a dejar aquí un regalo para el nuevo año. Se trata de un calendario que se construye con los módulos rómbicos de Nick Robinson. Como en todo buen diseño de papiroflexia modular, no hace falta pegamento ni nada. Y además, existe una web con un formulario maravilloso para poder generar el calendario y personalizar cosas como el idioma, el día de comienzo de la semana (hay gente por el mundo que empieza la semana en domingo...). Lo que devuelve es un fichero ps, pero se convierte fácilmente a pdf.
Se trata de un uno de los sólidos de Catalan y tiene la característica de llenar completamente el espacio cuando se reúnen varios de ellos, al igual que los hexágonos teselan el plano.

- Las instrucciones de los módulos son de Nick Robinson y se pueden descargar en creased.
- El formulario para generar los calendarios está en toddsplace.
- También dejo algunos ejemplos de 2019 listos para imprimir que he generado en tamaño A4: blanco, azul.

Para nostálgicos:
- 2018 (tamaño A4): azul, blanco, verde, plata, otro verde.

Como hemos dicho, lo que devuelve es un archivo .ps (postscript), que se puede convertir a pdf en ps2pdf.com.

En pleno proceso de preparación.

Ya que estamos en un blog de educación matemática, añadimos aquí alguna sugerencia para trabajarlo en clase de matemáticas, porque se pueden abordar diferentes niveles y contenidos:
1. Trabajar sobre el lenguaje. Punto, recta, bisectriz, paralela, punto medio, etc.
2. Deducir los ángulos que se forman en el módulo plano.
3. Deducir los anguloides que se forman cuando se ensamblan los módulos.
4. Calcular las dimensiones necesarias del papel original para que el dodecaedro ensamblado tenga una altura determinada.

Primer calendario de estos que monté, en papel «piel de elefante».

La relación de las matemáticas con las películas y series de ficción va más allá de lo puramente anecdótico, no hay más que pasarse -por ejemplo- por la web de J. M. Sorando, Matemáticas en tu mundo. En los dibujos animados orientados a un público infantil también nos vamos a encontrar matemáticas: conteos, aritmética, medidas, azar, geometría, etc., muchas veces inmersas en situaciones cotidianas. O no tan cotidianas, como aventuras con naves espaciales, hadas y duendes, o animales que hablan. Sin embargo, este tipo de situaciones sí que resultan cercanas para los niños y van a constituir un recurso muy interesante, además de jugar un papel fundamental en la progresiva construcción de los significados personales y las creencias de los niños sobre las matemáticas.´

Equipo Umizoomi (Kim y Smith, 2010-2015) es una serie de dibujos animados del ámbito del entretenimiento, pero que presenta una clara intencionalidad educativa. Está dirigida a un público de entre 4 y 7 años aproximadamente y tiene entre su equipo de asesores pedagógicos a investigadores en educación matemática como L. English y H. Ginsburg.
Los protagonistas son dos superhéroes diminutos llamados Milli y Geo, que siempre van acompañados por el robot Bot. Los tres tienen una serie de habilidades denominadas "los superpoderes matemáticos":


Así, Milli posee el superpoder de dibujo, que le permite, por ejemplo, replicar formas como si fueran teselados y efectuar alguna transformación, como cambios de color o de posición. Además, sus dos coletas pueden estirarse a su voluntad, lo que le lleva a utilizarlas para medir en diversas situaciones. Geo es el experto en geometría, con el poder denominado super figuras. Es capaz de recrear objetos tridimensionales a partir de formas en dos dimensiones. En la imagen anterior, por ejemplo, se le ve justo antes de terminar de construir una tabla de windsurf a partir de un triángulo y una elipse. Precisamente, este tratamiento de la geometría exige una especial atención, ya que no resulta clara la distinción entre figuras planas (2D) y cuerpos en el espacio (3D). Por último, Bot aporta su panza-panza-pantalla, una suerte de pantalla que recubre su abdomen, con la que se comunica con los niños que solicitan ayuda del equipo Umizoomi y que, de vez en cuando, añade datos adicionales sobre la situación a resolver.

Para saber más

Beltrán-Pellicer, P.(2017). Un equipo matemático para resolver problemas. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(1), 75-81.

Me resistía a abrir una sección de opinión (en su sentido más general) en mi querido blog, pues mi idea original era que la temática estuviese centrada exclusivamente en la educación matemática (algo sobre lo que también se puede opinar). Compartir recursos y experiencias con otros docentes, esperar que les sirva de algo y todo eso. Ahora bien, la expresión «educación matemática» incluye la palabra «educación», y hay condicionantes tan poderosos que actúan de tal forma sobre nuestro día a día que es imposible mirar hacia otro lado. A este respecto, tengo que agradecer a Heraldo de Aragón que publicase una carta mía al director el pasado domingo 22 de octubre de 2017.
Aquí dejo la carta en su versión integra, tanto en texto como en imagen. Ese mismo día la puse en Twitter.

¿Queremos apostar por la innovación y la calidad de la educación? Entonces necesitamos docentes, no opositores.

La realidad es que no se está promoviendo ni facilitando el desarrollo profesional del profesorado de la enseñanza pública. Por lo tanto, da la impresión de que no hay una preocupación auténtica por mejorar la calidad de la educación.
Cuando más del 30% de los docentes son interinos, condenados a repetir unos procesos de oposición una y otra vez para alcanzar la estabilidad, el tiempo para preparar clases, formarse de verdad, innovar, investigar, etc., se reduce al mínimo. No digamos ya lo que supone para la conciliación familiar. Porque esta situación viene de lejos, gracias a convocatorias de oposiciones con ofertas ridículas o inexistentes, o a procesos eliminatorios con numerus clausus. O peor, con esa incertidumbre -tan hábilmente sostenida hasta el final- de saber si habrá convocatoria o no.
¿Cómo puede ser que habiendo desempeñado un puesto durante tantos años tengas que demostrar tu supuesta «valía» en una prueba que, por otra parte, poco tiene que ver con los conocimientos didáctico-disciplinares de la materia en cuestión? ¿No lo hemos demostrado ya superando la preceptiva carrera universitaria y la titulación exigida para enseñar? Muchos de los interinos, además, hemos aprobado la oposición en algún momento, por lo que se nos consideró válidos incluso según ese modelo. ¿Tanto cuesta valorar los méritos de experiencia y formación acumulados durante este tiempo? ¿Por qué hemos de demostrar de nuevo lo que quiera que se demuestre con la oposición? ¿No lo hemos demostrado con nuestro trabajo estos años? ¿Es algo que se le exige al compañero funcionario? Obviamente, no. Porque es ridículo.
Duele comprobar que, cuando hay intención (e intereses económicos), no cuesta nada promulgar un decreto que se adapte a las circunstancias en un plazo de tiempo irrisorio. Aquí, simplemente, habría que aplicar el actual Estatuto Básico del Empleado Público. Si de verdad existe una apuesta seria desde los gobiernos central y autonómico por la innovación y la calidad de la educación pública, es por la consolidación basada en méritos por donde deberían empezar. Y, por otro lado, para cualquier sindicato que se precie, tendría que ser un punto inamovible en cualquier negociación.

Pablo Beltrán Pellicer. Carta al director publicada en el Heraldo de Aragón, 22 de octubre de 2017.

Esto casi es una nota de mi cuaderno personal. Porque soy el primero que a veces se olvida de estos detalles. No soy lo que se dice una referencia autorizada en el tema, así que los puristas pueden acudir a la web de APA Style, y si alguien aprecia algún error, por favor que deje un comentario o me escriba. Por otro lado, esto es algo que un gestor de bibliografía como Mendeley hace solo (o debería). Pero siempre pasan cosas raras y tampoco es raro escribir un artículo sin hacer uso de estas herramientas. Así que espero que sea de utilidad este resumen y vamos a ir al grano.

Uso de la coma (serial comma) en enumeraciones de autores

&, and, o ... y

Uso del et al en citas con varios autores

Número de autores	Primera vez que se cita en el texto, con o sin ()	Siguientes citas
1 o 2	Lucas & Kurtz, 1977	Lucas & Kurtz, 1977
3, 4, o 5	Hamill, Ford, Fisher, Guiness, & Cushing	Hamill et al., 1977
6 o más	Hamill et al., 1977	Hamill et al., 1977

Orden de las citas en citas múltiples

Hace unos días tuvimos cumpleaños en casa, ocasión para incorporar otro juego a nuestra colección. Visto el éxito que tuvo este verano el Dobble (del que también haremos una entrada en el blog), optamos por otro juego similar. Se trata de Fantasma Blitz: las 12 menos 5. Hay quien cataloga estos juegos como de rapidez o reflejos, pero seríamos más exactos si habláramos de ellos como juegos lógico-deductivos.  En estos juegos el más rápido gana y punto. Sí, de acuerdo, pero el más rápido haciendo algo muy especial.

¿De qué va el juego?

Un poco de postureo para la foto. Bien cogido ese reloj, que sale tal cual en la carta.

Bueno, cualquiera, cualquiera, no. Y vaya por delante que el ticket es correcto. Ahora bien, descifrarlo es todo un desafío matemático y puede ser utilizado en el aula. Pero comencemos por el principio, ¿qué es eso de Welcome Pack que aparece tantas veces a lo largo del rollo? Cabe decir que ese día me di alta en una especie de club de ahorro en esa cadena, y por ello, me daban 5 euros de descuento.
Para completar la información, debo decir que los artículos que marcaban descuento por oferta en los expositores, ya salen con el descuento correspondiente aplicado, salvo las que indican Dto Precio Plus, que aparece explícito en el ticket.

Grueso del ticket, para su análisis en clase.

Y todavía se puede exprimir más el ticket. Un poco más abajo, venía la información de la tarjeta de crédito (cosa que, obviamente, he quitado) y los descuentos totales (del programa Plus) y el IVA aplicado. Sí, si nos preguntábamos que son las letras A y B que aparecen al lado de cada producto... es el tipo de IVA. Porque no es lo mismo comprar yogures que queso, por lo menos para los que legislan este tipo de cosas.

Parte final, correspondiente al descuento total y al IVA.

Este ticket, u otro cualquiera, se puede trabajar fácilmente en clase:
- ¿Dónde están los 5 euros de descuento del Welcome Pack?
- ¿Qué descuento me están haciendo en las frambuesas congeladas? ¿Y en el pan gallego?
- ¿El IVA se aplica antes o después de efectuar los descuentos?

Ya ha empezado oficialmente el nuevo curso. Y con él, los compromisos, que pueden ser varios. Desde poner en práctica esas cosas tan chulas que viste en el último congreso, hacer ese curso sobre esa herramienta tan interesante o un máster sobre no sé qué, estudiar las oposiciones... Voy a anunciar aquí un compromiso que me parece sencillito y que creo que es aportar un granito de arena a la divulgación en investigación en didáctica de la matemática.

Hace unas semanas publiqué un tweet con una frase de un estudio, de hace unos pocos años (2011), que me llamó la atención. Por certera, contundente, y porque llama a la reflexión. Si bien no tuvo demasiada repercusión (no le termino de coger el truco a Twitter), y hasta el tweet sobre Juego de Tronos tuvo más visitas, algo de interés despertó.
Vamos, que una lección de mates con los alumnos motivados pero sin sustancia, quizá no mejore la comprensión de los estudiantes.
Y como esto de las citas es algo que cuesta bien poco en términos de tiempo, voy a darle continuidad. Además, leer artículos sobre educación matemática se ha convertido en una rutina para mí. Y aquí va el compromiso:

Publicar un tweet diario hasta fin de 2017 con un extracto breve (tendrá que ser en formato imagen) de algún estudio de investigación en didáctica de la matemática, citando la fuente.

Como casi todos mis seguidores hablan castellano, intentaré que sean citas en castellano. Aunque el inglés hará su aparición sí o sí, que tampoco es plan de aislarnos del mundo. El hashtag que emplearé será  #DidMatCita17.

Creo que puede ser interesante y enriquecedor.

Vaya por delante que la idea del examen de cuaderno no es mía. Me la contaron hace dos o tres años y enseguida me pareció fantástica, del tipo "vaya genio el que ha pensado en esto". Hoy me ha dado por buscar en Internet y solamente he visto este artículo del blog de Mª Amparo Zapata. Así que voy a  escribir una pequeña entrada para compartir mi experiencia con esta herramienta de evaluación, que se adapta muy bien a las circunstancias habituales de matemáticas.
Un examen de cuaderno es, simplemente, una prueba escrita que se realiza con el cuaderno personal encima de la mesa y cuyas preguntas van sobre lo que debería haber quedado reflejado en dicho cuaderno. Desde el punto de vista del profesor, hacer un examen de cuaderno por evaluación evita:

- Tener que recoger los cuadernos de los alumnos (incluso hacer muestreos) y evaluarlos.
- La subjetividad inherente al procedimiento del punto anterior.

Y en los alumnos se fomenta, entre otras cosas:

- El trabajo autónomo y la responsabilidad de recoger en el cuaderno las tareas y lo que se vaya haciendo en clase.
- En cierto modo, la creatividad, pues el modo de organizarlo no depende ya de lo que pueda gustarle o no al profesor.

¿Que podemos preguntar?

- ¿Cuál es el resultado del problema 7 de la página 58 del libro?
- ¿En qué consistía el primer problema que hicimos el día 8 de octubre?
- Escribe los números primos hasta el 100.
- Teoría sobre fracciones. Operaciones básicas.

Sobre las preguntas de teoría se podrá decir: ¿y si las saben sin mirar el cuaderno? Pues oye, mejor. El caso es que habrá que estar atentos para ver qué pasa con el alumno no se la sabe ni se la ha apuntado. Y si no se la sabe y simplemente copia lo que hay en el cuaderno... para eso están el resto de herramientas de evaluación. Un examen de cuaderno es lo que es, no otra cosa.

Aspectos a tener en cuenta

De lo que se entera uno. Ya se pueden escribir ecuaciones en la sintaxis de LaTeX en documentos de MS Word. Para Powerpoint hay una triquiñuela, pero no he conseguido hacerla funcionar con el paquete de idioma español, ya le dedicaremos una entrada diferente.
Vamos a centrarnos ahora en lo que funciona desde la versión 1707 (Build 8326.2058) y posteriores, o sea desde verano de 2017 aproximadamente. Y esto es una novedad, a la que tampoco se le ha dado mucha publicidad, pero para la que existía una potencial comunidad de usuarios que la esperaban como agua de mayo. Facilita enormemente, por ejemplo, el copy-paste de fórmulas de otros sitios. Además, la sintaxis de LaTeX puede parecer extraña al principio, pero es bastante más eficaz para escribir ecuaciones y fórmulas que el seleccionado manual con el ratón a través de múltiples menús.

Cómo funciona 

1- Insertar ecuación y seleccionar modo {}LaTeX


2- En el cuadro de la ecuación, escribir (o pegar) en sintaxis LaTeX la expresión que deseemos. Por ejemplo: \frac{a+b}{c+d}
3- Para ir alternando habrá que darle a "Convertir". Si convertimos a "Profesional", veremos el resultado:
4- Mientras que si convertimos a "Lineal", volveremos a ver la expresión LaTeX que hay detrás de ese renderizado, pudiendo modificarla de nuevo.

Cosas interesantes

Si copiamos una fórmula de estas y pegamos en otra aplicación (editor de LaTeX o un simple notepad), lo que aparecerá será la expresión LaTeX. Maravilloso. Aunque sería todavía mejor si Word permitiese entrar en el modo ecuación tecleando $$ o \[. Todo llegará, supongo. Y otra cosa que tampoco está habilitada en el editor de ecuaciones en modo LaTeX es el empleo de tags como \begin o \end. Dejo aquí una pequeña demo disponible en la web oficial:

Este año 2017, la revista Making Of: Cuadernos de cine y educación dedicó el número 124-125 a la utilización del cine como recurso en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Y pude colaborar con un artículo con una justificación de la utilización de este recurso. Así que, junto a los ya clásicos en esto del cine y las matemáticas José Mª Sorando, Alfonso J. Población (ver su reseña de este monográfico en DivulgaMat), Angel Requena y Abel y Marta Martín y otros apasionados de esto como Juan M. Sepulcre, Eva Mª Perdiguero y Jorge García escribí sobre la película Cielo de octubre, en clave didáctica.

El simple hecho de que una revista dedique un especial a la relación del cine con las matemáticas, ya es un indicativo de que no se trata de algo anecdótico. Existen multitud de referencias matemáticas, tanto en largometrajes como series de ficción, que conforman un recurso didáctico muy fácil de utilizar por el profesorado, al requerir únicamente de un PC y un proyector en el aula. Ahora bien, lo que justifica el empleo de este recurso, más allá de esta disponibilidad y facilidad de uso, es la riqueza en objetos matemáticos y de representaciones que ofrecen este tipo de fragmentos audiovisuales. El lenguaje cinematográfico articula estos objetos, en el seno del contexto introducido por la narración, y sienta las bases para efectuar propuestas didácticas que permiten un aprendizaje significativo.

En el artículo describo tres fragmentos de la película de una duración de no más de dos minutos, junto con los que propongo una serie de cuestiones sobre lenguaje algebraico, estimaciones, conversión de unidades, expresiones polinómicas y ecuaciones de segundo grado, para un nivel de 2º de ESO. En realidad, las actividades, muy directas a partir de los fragmentos, son una excusa para su análisis.

Realmente, Cielo de Octubre (Joe Johnston, 1999)  es una vieja conocida en esto del cine y las matemática. No en vano, José Mª Sorando le dedica ya una de sus entradas en el maravilloso sitio Matemáticas en tu mundo. En la película se narra cómo Homer, un estudiante de un instituto de un pueblo minero de EE.UU., tras ver cruzar el cielo al Sputnik en 1957, reúne a sus amigos para participar en una feria científica. Es la única opción que tienen para conseguir una beca e ir a la universidad, ya que no son muy buenos en el aspecto deportivo, cauce usual para conseguir una de tales ayudas. El proyecto que eligen es la construcción de cohetes, para lo que necesitan documentarse, conseguir material y montar una base de lanzamiento en un lugar retirado.

En el primer fragmento, se observa la base de lanzamiento, desde la cual los estudiantes realizan las pruebas con los cohetes. Así mismo, se pone de manifiesto la expectación que crean en el pueblo, ya que se concentran muchas personas para asistir a uno de esos lanzamientos. Más adelante, se les acusa de que haber causado un incendio, al no poder explicar la localización de uno de sus cohetes. Homer, junto con uno de sus compañeros, se esfuerza en calcular dónde pudo caer dicho cohete (segundo fragmento). Previamente, en la película se observa cómo debe estudiar matemáticas para llegar a tales conclusiones. Un detalle interesante, que se aprecia en el fotograma, es que los papeles muestran esbozos de lo que parecen trayectorias parabólicas.

En el tercer y último fragmento, el protagonista principal, Homer, que había dejado el instituto para trabajar en la mina, debido a la acusación anterior, vuelve al aula para demostrar que no pudo ser su cohete el causante del incendio. Es entonces cuando se produce un conflicto, al entrar el director del instituto (Sr. Turner) en el aula y exigirle explicaciones.

HOMER: Aquel incendio fue a 5 km de nuestra rampa de lanzamiento y en aquella época nuestro máximo alcance era de 1,9 km, que es exactamente donde hemos encontrado este cohete. Verá, Sr. Turner, aquel cohete cayó durante unos 14 segundos, lo que significa que llegó a una altura de 900 m, según la ecuación de S =1/2 at2, siendo S la distancia, a la constante de gravedad y t el tiempo que tardó el cohete en volver al suelo. ¿Me sigue usted, Sr. Turner?

Sí, el título es correcto, y tiene su explicación. De nuevo, alerta de spoilers, porque se pueden intuir detalles de la trama en lo que sigue. Me encanta que en una serie con sus dragones, sus zombies y sus resucitados varios, tenga lugar un diálogo como este, en el capítulo 7x07 (ojo de nuevo, es el final de la séptima temporada), en torno al minuto 37:

Daenerys: No puedo tener hijos.
Jon: ¿Quién os lo ha dicho?
Daenerys: La bruja que mató a mi esposo.
Jon: ¿No se os ha ocurrido que tal vez no fuera una fuente de conocimiento fiable?

Vaya con Jon. Y vale que estamos con el romance más anticipado de la historia de las series de televisión. Pero está claro que pasa de cautivar a Daenerys con poemas, flores o cosas de esas. Ni siquiera ganando batallas o haciéndose el macho alfa. No, Jon la quiere encandilar usando el razonamiento científico y el escepticismo como forma de dudar sobre la realidad de las cosas y profundizar sobre ellas.


¡Qué grande eres, Jon! Esta frase es un bazinga en toda regla (zas en toda la boca) para los curanderos y charlatanes que todavía campan a sus anchas hoy en día. Homeopatías y terapias ortochupidetoxiguays viven actualmente una época dorada, justo cuando el nivel educativo y cultural es mayor que nunca. Inexplicable. Aunque bueno, también es cierto que cada vez son más las voces científicas que se alzan y se pronuncian. Basta bucear en cualquier red social o buscar en la red para ver la batalla que se está librando.

No hay nada mejor que combatir las pseudociencias con números. Una buena forma es echar cuentas en clase de cuántas moléculas de principio activo habría, supuestamente, en un frasquito de alguna pócima azucarada de homeopatía. O qué probabilidad habría de ingerir una dosis efectiva de ese principio activo...

Bueno, y luego están los comentarios tronchantes, versiones y parodias del diálogo que motiva esta entrada y que aparecieron en lugares como Twitter:

En el capítulo 4x05, en torno al minuto 21, asistimos a una conversación entre Cersei y su padre, Lord Tywin, en donde las matemáticas están presentes de forma sutil, pero contundente. Aunque ya hace tiempo de la emisión de este capítulo, y es obvio, hay que dar la alerta de spoilers, porque se cuentan detalles de la trama. En esos momentos de la historia, Lord Tywin es la mano del rey, y al parecer, la Corona está en serias dificultades económicas. Comencemos con el diálogo en cuestión:

Cersei: ¿Y en quién podemos confiar?
Tywin: Solo en nosotros... Los Tyrell son nuestros únicos rivales en cuanto a recursos, y los necesitamos en nuestro bando.
Cersei: Robert no era especialmente rico. 
Tywin: A Robert lo financiaba yo. Las guerras tragan oro como un pozo en el suelo.
Cersei: Supongo que eso explica por qué nos fue tan bien en la última.
Tywin: ¿Sabes cuánto oro se extrajo en las minas de Poniente el año pasado?
Cersei: No tengo ni idea.
Tywin: Venga, aventura...

Eso que aparece imprimiéndose en la foto de portada, es un dado. Diseñado por un alumno de 2º de ESO. Se trata de una experiencia piloto en primer ciclo de secundaria sobre la enseñanza-aprendizaje de nociones probabilísticas, en la que los alumnos diseñan dados, los imprimen en 3D y posteriormente analizan si son sesgados. La experiencia se enmarca dentro del significado frecuentista de la probabilidad, facilitando su puesta en relación con el significado clásico o a priori.

Para esta experiencia se optó por utilizar Tinkercad, que simplifica la tarea de
diseño. Se planteó como actividad voluntaria en 2º de ESO, prácticamente a final de curso y la consigna inicial fue la siguiente:

La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade
0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que
os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación,
os explico cómo hacerlo.



El diseño de dados no es algo trivial, habiendo propiciado interesantes discusiones en los repositorios de modelos online, como Thingiverse.  Los usuarios han realizado, incluso, pruebas chi-cuadrado de significancia estadística para comprobar el correcto balanceo de los dados. Las conclusiones más relevantes son:

- Los dados con esquinas más redondeadas, evidentemente, ruedan más. Esto es algo que amplifica cualquier sesgo de diseño, lo que constituye una ventaja de cara a nuestros objetivos.
- Si colocamos el dado para que se imprima girado 45º, obtenemos mejores resultados.
- El porcentaje de relleno de los dados influye. El software traductor permite ahorrar plástico, rellenando el interior de la pieza con un mallado rectangular o hexagonal. Se comprueba que es mejor imprimir dados sólidos al 100%.

1. Cuando se indican los puntos con cavidades, no se ha retirado la misma cantidad de material en todas las caras, por lo que unas caras pesan más que otras
2. Un error similar se produce cuando en lugar de retirar material, se añade, con lo que se propicia que se mantenga sobre ciertas caras mayor masa que en otras.
3. No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado del dado (esto está relacionado con el error de tipo 2), como ocurre en los dados estándar.
4. No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
5. El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras. 

Todo esto se explica con detalle en:
Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Muchas veces andamos como locos buscando nuevos recursos que faciliten el aprendizaje de nuestros alumnos. Sin embargo, otras veces descuidamos materiales cotidianos que resultan muy eficaces para trabajar muchos contenidos.
Un gran ejemplo de esto son las tijeras.

Ejemplo de problema y error típico

Muchos alumnos, de todas las edades, presentan dificultades a la hora de interpretar un problema como el siguiente (sacado de un examen oficial de competencias N-2):

Se quiere pintar las paredes de una habitación, la habitación tiene forma rectangular, el largo de la habitación mide 6 m, el ancho mide 4,5 m, y la altura, 2,50 m. En la habitación hay una puerta de 1,60 m de ancho y 2,10 m de alto y un ventanal cuadrado de 2 m de lado. Si por cada 10 m² necesitamos un litro de pintura y la pintura cuesta 8 € el litro, ¿cuál es el coste de toda la obra?

Y es que no son pocos los alumnos, en este caso personas adultas, que confunden el volumen con el área lateral. Así, nos encontramos con casos en los que la primera operación que se hace es:
Lo cual es un volumen, expresado en m³, al que luego suman el área de la puerta y la ventana.

Una forma sencilla de trabajar el área de un cuerpo en el espacio

El concepto de número complejo no va a surgir como una necesidad real del hombre para conocer y observar el universo, sino de una necesidad puramente algebraica, en el contexto de la resolución de ecuaciones. No obstante, el desarrollo de la teoría de números complejos y, sobre todo, la teoría de funciones complejas, tienen en la actualidad numerosas e importantes aplicaciones a la física y a la ingeniería. Gracias a los complejos se describen las ondas electromagnéticas, los circuitos eléctricos y se llega a ecuaciones como la de Schrödinger, que explican la teoría cuántica del átomo. Se emplean, incluso, en el diseño aeronáutico.

Girolamo Cardano

El primero en introducir los números complejos es Cardano (s. XVI), quien en su obra Ars Magna, explica cómo resolver los diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Por ejemplo, la ecuación $$x^2+1=0$$ no tiene solución en el sistema de los números reales, porque no existe unnúmero real cuyo cuadrado sea -1. A partir de Cardano, se emplearía el símbolo $$\sqrt{-1}$$ para manejar este tipo de soluciones, que aunque fueran manipuladas algebraicamente, se consideraban falsas o carentes de sentido.
Habría que esperar a Euler para dar el primer paso hacia un tratamiento formal y sistemático de los complejos. Hizo una cosa muy sencilla, utilizar el número $$i$$ como $$i=\sqrt{-1}$$, asignándole el mismo estatus de existencia que a los números reales, definiendo sus reglas operacionales.

Carl Friedrich Gauss

A principios del s. XIX, Wessel y Argand introdujeron la representación geométrica de los complejos en el plano cartesiano, de manera independiente. Poco más tarde, todavía en la primera mitad del s. XIX, Gauss y Hamilton propusieron casi al mismo tiempo la idea de definirlos como pares ordenados $$(a,b)$$ de números reales, dotados de ciertas propiedades especiales, tal y como los conocemos actualmente. Por otro lado, Gauss, en su tesis doctoral, demostró el famoso teorema fundamental del álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.
Desde ese momento, se inicia el desarrollo de la teoría de funciones complejas, de la mano de Hamilton y Cayley, quienes además crearon los sistemas hipercomplejos. Cauchy, por otro lado, sienta las bases del cálculo diferencial e integral de funciones complejas y el matemático alemán Riemann profundizaría en el estudio de la geometría partiendo de los números complejos, originando la topología.

Créditos:
Imagen de Cardano: http://wellcomeimages.org/indexplus/obf_images/ae/d3/8753d7ad74cb086ba79ccfc75e7f.jpg

No es que vayamos a poner a diseñar piezas complejas a los niños, ni que haya que introducir obligatoriamente en el aula la impresión en 3D si nos queremos llamar innovadores, simplemente porque sea una tendencia de moda. Mi visión es que se trata de otro recurso didáctico, que puede introducirse perfectamente como algo natural, pues poco a poco imprimir objetos en 3D será tan cotidiano como imprimir en una hoja de papel. Además, todo esto tiene su interés desde el punto de vista de la educación científica, y de las matemáticas en particular.
Un ejemplo podría ser la situación que se ilustra en las fotografía, que se realizó con un niño de 5 años de edad, escolarizado en segundo curso de Educación Infantil. La tarea, guiada en todo momento por uno de los autores, consistió en construir un juego sobre los animales de los polos (tema del trimestre), para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y una impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos lógico-matemáticos, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Las siluetas bidimensionales de los animales se buscaron en Internet, eligiendo el niño las que más le gustaban de cada animal, teniendo en cuenta las restricciones que se le dieron (que fueran completamente negras, que no tuvieran muchos huecos en el interior, etc. para facilitar su impresión). Posteriormente, se importaban estas siluetas en Tinkercad y se extruían para darles volumen, siendo algo que hacía el niño de forma guiada. Por último, a cada figurita se le añadía un cilindro hueco, seleccionándolo desde las formas predefinidas y modificando el tamaño a conveniencia, uniendo ambos objetos para obtener la figura final.

El uso y la intencionalidad de las prácticas era claro, el diseño y construcción de un juego sobre los animales de los polos. Y algunos objetos matemáticos que se ponen en juego son:
- Conceptos: planta (“silueta”), volumen, traslación, semejanza, cilindro, unión, diferencia lógica.
- Procedimientos: modelado de figuras tridimensionales a partir de la planta (silueta) de un objeto, composición de cuerpos en el espacio uniendo otros más sencillos.
Para saber más, el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:
Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

En mi imaginario particular, el UNO siempre ha sido uno de los juegos piscineros o veraniegos por excelencia. Resulta que tenemos a los peques un poco enganchados y me apetece escribir algo sobre el tema. Eso sí, me es inevitable empezar por la versión infantil del juego, siempre intentando ver qué cosas son aprovechables desde una perspectiva de la educación matemática.

Mi primer UNO, versión Dora

Esta claro que la carta de la mochila les gustaba bastante.

En realidad, todo comenzó hace tres veranos, con Mi primer UNO (versión Dora la Exploradora), juego al que ya se puede jugar con niños de 2 años y medio, a pesar de que en la caja pone a partir de tres. La comunidad de BGG no puntúa excesivamente bien este juego, apenas con un 4,7/10, variante del UNO que, por otro lado, tampoco recibe muy buenas puntuaciones (un 5,3 la original y un 6,6 la Get Wild).
Es una baraja en la que hay cartas de cuatro colores (rojo, verde, amarillo y azul), números del 1 al 7 y, como cartas especiales, 4 comodines y 4 "roba 2" (chúpate dos en la jerga popular). Por otro lado, son cartas de tamaño grande (king-size), cosa que en realidad no entiendo, porque si las manos de los niños son más pequeñas, ¿no debería mantenerse, por lo menos, el tamaño de las cartas?
Chorradas aparte, desde el punto de vista del aprendizaje de las matemáticas, las cartas son mejorables. Ya que está dirigido a unas edades en las que los niños tienen que desarrollar la idea de número, y no solo el reconocimiento de símbolos numéricos, hubiese estado bien que las cartas tuviesen dibujado un conjunto de personajes de un cardinal acorde con el símbolo del número representado.

¿Qué costaba que en la carta del "3" aparecieran 3 toros o 3 personajes  y en la del "6" los correspondientes 6 animalitos?

El caso es que en las cartas Roba 2, sí que salen dos cartas dibujadas, pero no aparece el correspondiente símbolo numérico.

No voy a relatar las reglas del juego, pero la idea es que gana el jugador que consigue descartarse. Para ello, hay que ir echando cartas que coinciden, bien en color, o bien en número. Cuando solamente te queda una carta, tienes que decir Uno, porque si se te pasa y te lo tienen que decir, te robas dos. El juego está bien si lo único que pretendemos es aprender a jugar por turnos, tener paciencia, estar atentos, reconocer los símbolos numéricos y los colores. De hecho, lo de reconocer los símbolos numéricos es opcional, puesto que basta con fijarse en los personajes. Por ejemplo, el "3" siempre es el toro, así que el niño puede pensar simplemente en si tiene "carta de toro" o "carta del color x". El único número que se aprende de verdad, es el uno, ya que cuando te queda una carta, debes decir uno, asociando esa palabra a un conjunto de un elemento que, además, se puede tocar.

El UNO, de las rondas sueltas a los ábacos

Partida familiar de UNO.