Tierra de números

Un excelente recurso con el que profundizar en el sistema decimal posicional (el que utilizamos habitualmente para escribir los números) son los billetes. Ahora bien, necesitamos billetes estrictamente decimales; es decir, de 1, de 10, de 100 y de 1000. No nos valen, en este caso, los de 5 o 50, porque introducen una base auxiliar que nos despista y nos aleja del objetivo que se persigue. El caso es que, como tampoco vamos a usar dinero de verdad en clase, dejo aquí unos archivos listos para imprimir con billetes de 1, 10, 100 y 1000, solo por una cara. Aunque dedicaremos una entrada a su utilización didáctica, ya adelantamos el tipo de actividades que se pueden plantear:

- Representar un número con la menor cantidad de billetes posible.
- Sumar dos cantidades, para trabajar los algoritmos de la suma.
- Restar dos cantidades, para trabajar los algoritmos de la resta.
- Doblar, triplicar, etc. una cantidad para relacionarlo luego con los algoritmos escritos de la multiplicación.
- Repartir una cantidad de dinero entre varias personas, para poder establecer luego una correspondencia con los pasos del algoritmo escrito de la división.

Billetes de 1, 10, 100 y 100 listos para imprimir

Se descargan pinchando sobre la imagen correspondiente (son archivos pdf):




Para elaborarlos, busqué en Openclipart, encontrando los billetes de 10 y los de 100. Encontré una imagen de un hipotético billete de 1 buscando un poco, y el de 1000 lo tuve que crear a partir del de 50 utilizando Inkscape.

Nos preguntaremos, ¿qué tienen que ver las matemáticas con los estadios isotópicos del oxígeno? La verdad es que bastante. Sin ellas, hubiese sido imposible interpretar los datos de los que hablaremos a continuación y que arrojan unas conclusiones muy interesantes sobre el pasado del planeta en que vivimos. Comencemos.

Aunque la mayoría de los átomos de un elemento que nos podemos encontrar en la naturaleza tienen el mismo número de neutrones en el núcleo, existen lo que se conoce como isótopos. Éstos son átomos, más inestables que la configuración normal, que difieren en el número de neutrones. En el caso que nos ocupa, el del oxígeno, la mayoría de los átomos (el 99,762%) se corresponden con el \(^{16}O\). Sin embargo, en la atmósfera también hay un 0,037% de \(^{17}O\) y un 0,204% de \(^{18}O\). En un principio, todos tenemos claro lo que es un átomo. Sin entrar mucho en detalle, está formado por un núcleo formado por protones y neutrones, alrededor del cual dan vueltas los pequeños electrones.
Cada elemento queda definido por el número atómico; es decir, los protones que tiene en el núcleo, que coincide con el número de electrones en órbita, por eso de que los átomos son neutros eléctricamente. Y aquí es donde ocurre algo curioso, pero esperable. Como las moléculas de agua que incluyen átomos ligeros de oxígeno van a tener más facilidad para evaporarse y, por lo tanto, para caer en forma de lluvia o nieve, resulta que en las masas de agua dulce y en los hielos de los casquetes polares vamos a tener una menor proporción de isótopo pesado \(^{18}O\) en ese agua (0,1981%) que en el aire (0,204%) o en el agua marina (0,1995%). Esta dependencia permite analizar los patrones de temperatura.

El gráfico abarca todo el Eón Fanerozoico, los últimos 543 millones de años de la Tierra, y muestra los mayores periodos glaciares dentro de las últimas tres grandes glaciaciones (Wikipedia).

Conchas de foraminíferos (Wikipedia)

Los sedimentos marinos (como los de la imagen de portada, que proceden de Groenlandia) constituyen una excelente fuente de información para seguir los cambios de temperatura a lo largo del tiempo. En ellos se van depositando unos pequeños protozoos llamados foraminíferos, cuya concha carbonatada permite establecer la relación entre  \(^{18}O\) y  \(^{16}O\). Las masas de hielo que se forman durante las glaciaciones son isotópicamente pobres, ya que es el ligero  \(^{16}O\) el que más fácilmente se evapora y precipita posteriormente.  Así, el agua de mar durante las glaciaciones presenta más  \(^{18}O\). Sin embargo, se ha de tener en cuenta que en la formación de las conchas de estos protozoos también influye la temperatura de forma directa, presentando mayores concentraciones de isótopo  \(^{18}O\) a temperaturas más bajas. El análisis de estos dos factores permite establecer las etapas isotópicas marinas (marine isotope stages, MIS), anteriormente conocidas como estadios isotópicos del oxígeno (oxygen isotope stages, OIS).




Las etapas isotópicas marinas son, en correlación con las glaciaciones:

Época	Glaciaciones alpinas	Período (ka)	MIS
Holoceno		presente-14	1
Pleistoceno	Würm	29 – 71 y 115 – 130	2-4 y 5a-d
	Riss-Würm	119 – 124	5e
	Riss	130 – 200	6
	Mindel-Riss	374 – 424	11
	Mindel	424 – 478	12
	Günz-Mindel	478 – 533 – 563	13-15
	Günz	621 – 676	16

Y aquí dejo la correlación cronoestratigráfica, que se puede descargar a gran calidad (Subcommission on Quaternary Stratigraphy, International Commission on Stratigraphy).




Fuentes y referencias:

http://www.iaea.org/Publications/Magazines/Bulletin/Bull324/Spanish/32406880915_es.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Marine_isotope_stage
http://en.wikipedia.org/wiki/Paleoclimatology
http://www.geo.uu.nl/fg/palaeogeography/
http://quaternary.stratigraphy.org/charts/
http://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_glaciation

No es la primera vez que mi hijo de 4 años me pregunta, intrigado a más no poder, cómo construí la máquina 3D. Le debe parecer increíble el proceso de ver una pieza en la pantalla del ordenador y, luego, observar cómo se va imprimiendo. Cosa que, a su vez, me parece de lo más encantador, sobre todo cuando el chaval no pregunta sobre cómo funcionan los teléfonos, el ordenador, o cosas así. Esto de la impresión en 3D es algo que todavía se sale de lo normal. Y, sin embargo, el funcionamiento de una máquina de estas es simple como el de un botijo. Un chorro de material fundido, plástico, que se va depositando capa a capa hasta modelar una figura. Bueno, igual me he pasado, pero en fin. Antes de que se me olvide la historia, prefiero dejarla aquí para la posteridad y, de esta manera, puede que a alguien le resulte útil.

Razón de ser y árbol (más bien línea) genealógico

La construcción inicial del clon #541 Vega, tiene lugar durante diciembre/enero de 2016. Se inscribe el día 1 de enero de 2016 en el Imperio de los Clones del proyecto RepRap en español, como descendiente del clon #409 Vulcano. La culpa de que finalmente me decidiera a construir una impresora de estas es del maker de Vulcano, crjaso, gran amigo y mejor persona. Y es que Vega es, efectivamente, descendiente de su clon. Literalmente, debido a que todas las piezas de plástico iniciales (engranajes, poleas, extrusor, etc.) fueron imprimidas por Vulcano. Si indagamos un poco en el Imperio de los Clones, la línea genealógica de Vega es la siguiente:



Es decir, a modo de los nombres del Señor de los Anillos, podemos decir: #541 Vega (Pablo Beltrán, Zaragoza, 01/01/2016), hija de #409 Vulcano  (C Rdguez. Zaragoza, 23 de septiembre de 2014), hijo de #307 Golem (Pedro Lahuerta, Cuenca, 10 de enero de 2014), hijo de #228 Proteus (Pedro Lahuerta. Cuenca, 30 de junio de 2013)

Embrión de Vega, a 12 de octubre de 2015.

El caso es que, una vez recibidos los marcos el 25 de septiembre de 2015, voy montando el engendro, con calma. No fue llegar y triunfar, sino que hubo que hacer cierta labor de ajuste mecánico. Por ejemplo, tuve que limar las abrazaderas de los rodamientos de la araña de la cama caliente, porque pegaban con el marco al moverse en el eje Y. Igualmente, creo recordar que algún flex coupling (las piezas sobre las que se acoplan las varillas a los motores del eje Z) venía para otras medidas y hubo que cambiarla. Más allá de esos contratiempos, mucho atornillar y organizar cables, ajustar tensiones de las correas y poco más.

El cerebro de Vega, a 30 de diciembre de 2015

La electrónica, casi me entran escalofríos. Creía que iba a ser lo más fácil para mí. Sin embargo, no me percaté de que la fuente de alimentación, al atornillarla al marco, hacía un ligero cortocircuito, que solamente se manifestaba cuando conectaba el Arduino por USB al ordenador y estaba siendo alimentado por la fuente. Y la manifestación era en forma de humo negro. No me percataría de esto hasta unos meses más tarde. Más allá de las placas quemadas, no fue mayor problema, puesto que con el display LCD y su lector de tarjetas SD incorporado, se podía hacer lo mismo.
Hubo algún problemilla más, pero nada que una pensada, los buscadores o los foros de internet no pudieran resolver. Por ejemplo, los cables planos que van del display al Arduino no estaban aislados electromagnéticamente (bendita EMI), con lo que los envolví en papel de aluminio de forma independiente, con su obligatoria conexión a tierra (0 voltios).

Mira que es una cosa tonta, y mira que LaTeX tiene comandos en los paquetes estándar para dar rienda suelta a nuestra creatividad tipográfica. Pues resulta que escribir números periódicos no es algo tan directo en LaTeX. Más que nada, porque la notación anglosajona utiliza normalmente una barra recta o puntitos sobre los números del período. Y claro, los que utilizamos el arco de toda la vida (de toda la vida, para nosotros, claro), nos las tenemos que apañar de alguna manera.

Lo más fácil y directo es utilizar el paquete yhmath, así que, en el preámbulo, lo cargamos:

\usepackage{yhmath}

Y luego, ya en el documento, lo usamos a discreción:

4,\wideparen{9}

De esta forma, obtenemos algo del siguiente estilo:


El problema está en que en algunos editores de fórmulas online, no se permite cargar paquetes adicionales. Por ejemplo, en CodeCogs podemos utilizar \overarc (del paquete arcs), en sustitución de \wideparen, pero queda un poco menos bonito. De hecho, les he escrito a ver si lo incorporan:



Por cierto, para representar el 4,99... no hace falta ningún símbolo raro. Podemos escribir, sencillamente, 5 ;)

Bueno, y si alguien sabe de alguna otra forma para escribir los números periódicos en LaTeX, ¡para eso están los comentarios!
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Parece que la gente se anima a escribir comentarios y han dejado esta forma de escribir el período:

4,\widehat{89}

La ventaja es que está admitida, por ejemplo, en el editor online de CodeCogs. Ahora bien, proporciona un arco un pelín puntiagudo:

Créditos
Esto ha sido un poco de investigación profunda en internet, pero la mayor parte se puede encontrar en tex.stackexchange.

No sabía muy bien cómo titular esta entrada. Más que nada, porque en cada sitio se les ocurre un nombre distinto para este juego. Con mi hermana, de pequeños, siempre lo llamábamos el juego del chip, pero en Wikipedia, aparece como Chi. El caso es que se trata de un juego de rapidez y reflejos, que podemos aprovechar para practicar el dominio del recitado de la secuencia numérica en progresivo y en regresivo. Con niños a partir de tres años ya se puede probar, sobre todo, dependiendo del tipo de baraja que usemos, como comentaremos al final.

Reglas del juego

Es un juego para dos jugadores, gana el primero que se descarta y el mecanismos es el siguiente:
1- Al comienzo, se reparte la mitad de la baraja a cada jugador.
2- Cada jugador coloca las cuatro primeras cartas de su mazo, boca arriba, enfrente suyo.
3- Cuando se ponen de acuerdo en empezar (tiene que ser a la vez para que no haya discusión posible), cada jugador toma una carta de su mazo (que puede mantener en su mano, pero sin verlo ni reordenarlo) y la pone en el centro de la mesa, a su derecha.
4- A partir de ahora, cada jugador lucha por quitarse sus cartas, colocando una de sus cuatro cartas sobre uno de los montones del centro, cualquiera de los dos. Para ello, dicha carta tiene que ser el siguiente o el anterior a la carta sobre la que la pone.
5- Si en un momento determinado las cartas de ambos montones coinciden, el jugador que se percate podrá gritar chip (chi, chin, chis o cualquiera que sea la variante regional). En ese caso, el otro jugador se lleva los dos montones.
6- Si ninguno de los jugadores puede colocar ninguna carta, vuelve a tomar su montón. Por eso, en caso de tener dos opciones, conviene endiñar las cartas al montón del otro.

El jugador de la parte inferior, a punto de gritar chip.

Como recurso didáctico

¿Qué es realmente un tubo matemático?

Entonces, ¿qué podemos hacer con un tubo matemático de estos? 

Un defectillo

Es curioso cómo la probabilidad sigue siendo una rama de las matemáticas relegada al último tema del curso. Con suerte, porque si el calendario apremia, es lo primero que se descarta, como si fuera algo sencillo o poco útil. Y resulta que ni lo uno ni lo otro, pero esta forma de tratar a la probabilidad y la estadística desde las instituciones fomenta el asentamiento de una serie de concepciones erróneas. Y dichas concepciones son el origen de no pocas dificultades cuando nuestros estudiantes han de vérselas con situaciones en donde la probabilidad tiene algo que decir. Por ejemplo, en la toma de decisiones en contextos de riesgo o cuando se trata de continuar la formación en algunas disciplinas de conocimiento (matemáticas, ciencias de la salud, ciencias de la educación, ingeniería, etc.).

Vamos a dejar de lado la organización del currículo, para centrarnos en tratar aquí los sesgos y errores de razonamiento más comunes.

Heurística de la representatividad

Concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias
Dentro de la heurística de la representatividad, nos encontramos con diversas concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias, ya que muchas personas consideran que una muestra, del tamaño que sea, ha de presentar las mismas características que la población de origen. Es común pensar que participaciones de lotería con secuencias de números “ordenadas”, como 11111 o 12345 son más difíciles de resultar premiadas, cuando la realidad es que su probabilidad es la misma que de cualquier otra combinación. Es el mismo sesgo que lleva a un apostador, que lleva una mala racha, a apostar una vez más porque cree que su suerte tiene que cambiar, que ya toca. Esto último se conoce como falacia del jugador.

Sesgo de equiprobabilidad

Es la creencia en que todos los sucesos de un experimento aleatorio presentan la misma probabilidad, sin tener en cuenta que puedan tratarse de sucesos compuestos o exista alguna asimetría, de carácter geométrico u otro, en la asignación de las probabilidades. Este sesgo se pone de manifiesto fácilmente, ante la pregunta de si es más probable obtener dos cincos o un cinco y un seis en el lanzamiento simultáneo de dos dados. Muchas personan optan por afirmar que sí. Es decir, no tienen en cuenta la descomposición del espacio muestral y la correcta asignación de probabilidades. La combinación formada por un cinco y un seis se puede obtener de dos formas distintas, mientras que el doble cinco solo de una.

Enfoque en el resultado aislado

Ante la pregunta explícita por la probabilidad de un suceso, hay personas que interpretan que tienen que predecir si el suceso en cuestión ocurrirá. Más que de un fallo de razonamiento, se trata de una ausencia de razonamiento probabilístico. Así, estas personas calificarán como seguros sucesos cuya probabilidad se acerque a 1. Por otro lado, los sucesos con probabilidad casi nula serán imposibles para ellos. Tienden a clasificar como aleatorios sucesos con probabilidades en torno a 0,5.
Por ejemplo, al interpretar una predicción meteorológica en la que se dan unas probabilidades de lluvia de un 70%, muchos sujetos indican que lloverá el día en cuestión. Si el día en cuestión no llueve, pensarán que el meteorólogo se equivocó en sus predicciones. Si llueve un 70% de días para los que se pronosticó un 70% de probabilidades de lluvia, pensarán que el meteorólogo es poco fiable.
Los estudiantes con este sesgo muestran verdaderas dificultades para asimilar la noción frecuentista de la probabilidad, pues no comprenden que cada resultado de un experimento aleatorio puede, y debe, estudiarse en el contexto del conjunto de repeticiones


Para saber más

Batanero, C., Chernoff, E. J., Engel, J., Lee, H. S., & Sánchez, E. (2016). Research on Teaching and Learning Probability. The Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education. Springer Netherlands.

Konold, C. (1991). Understanding Students’ Beliefs About Probability. En E. von Glasersfeld (Ed.), Radical Constructivism in Mathematics Education (pp. 139-156). Dordrecht: Kluwer.

Lecoutre, M. P. (1992). Cognitive models and problem spaces in «purely random» situations. Educational Studies in Mathematics, 23, 557-568.

Serrano, L., Batanero, C., & Ortiz de Haro, J. J. (1996). Interpretación de enunciados de probabilidad en términos frecuenciales por alumnos de bachillerato. Suma, 22, 43–50.

Tversky, A., &  Kahneman, D. (1974). Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases. Science, 185(4157), 1124-1131.



Créditos de imágenes:
Dice, por Steve Johnson.
Poker! por Viri G.
Portland Rain, por Gsloan

Inauguramos una sección con construcciones geométricas en Geogebra. Aunque lo realmente interesante de esta herramienta, desde el punto de vista de la didáctica, sea el que los estudiantes la manejen para elaborar sus propias escenas, también resulta conveniente disponer de construcciones ya hechas. Así, se pueden emplear para explicar algo sobre ellas en el aula o manipularlas para sacar alguna conclusión.
En este post dejamos el circuncentro, el baricentro, el incentro y el ortocentro de un triángulo y un montón de gifs. Sí, desde Geogebra... ¡se pueden exportar gifs!

Circuncentro de un triángulo

Hay quien llega al mundo LaTeX porque ha oído acerca de lo que facilita la gestión de bibliografías. Esto último es cierto. Pero también lo es que si se quiere algo especial, la cosa puede convertirse en un pain in the ass. Por especial me refiero principalmente a estilos de bibliografía distintos de los que se usan en áreas científico-tecnológicas y a diversas personalizaciones en función del idioma.

Pues bien, me he visto más de una vez en la tesitura de emplear el estilo APA, uno de los más extendidos (el que más) para ciencias sociales y humanas. Y lo quería usar en español. Tras diversas probatinas y tener casi todo listo para que me funcionara con BibTex, en algún foro se me insinuó que qué narices estaba haciendo empleando BibTex para tamaño propósito. Que eso ya era cosa del pasado y que BibLaTeX le daba mil vueltas. Aquí dejo mis conclusiones, que llevan -todo hay que decirlo- cierto tiempo como borrador.

Manos a la obra. En el preámbulo de nuestro documento pondremos:

\usepackage[babel]{csquotes}
\usepackage[backend=biber,style=apa]{biblatex}
\DeclareLanguageMapping{spanish}{spanish-apa}
\addbibresource{Bibliography.bib}

En el documento en sí, incluiremos lo siguiente justo donde queramos que aparezca la lista de referencias:

\printbibliography

O si quieres utilizar alguna de sus fabulosas opciones, como por ejemplo añadir un título a la bibliografía, listar únicamente aquellas referencias con la palabra clave "spanish" y hacer que aparezca en la tabla de contenidos, quedaría de la siguiente manera:

\printbibliography[title={Referencias},keyword=spanish,heading=bibintoc]

Y para citar a lo largo del texto, hay varias opciones. Yo he ido empleando

\textcite{autor2014}
\textcite[p. 249]{autor2014}
\parencite{autor2014}
\citeauthor{autor2014}

Sólo un detalle. Es necesario tener instalado biber en el sistema, cosa fácil tanto en Windows como en Linux, y hacer que nuestro editor lo ejecute en lugar de BibTex.

Bueno, y sobre todo dar gracias al autor del paquete biblatex-apa y a Paco Vila que realizó las modificaciones correspondientes en el código.

Créditos:
Imagen de portada: By Lin Kristensen from New Jersey, USA (Timeless Books) [CC BY 2.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/2.0)], via Wikimedia Commons