Tierra de números

Escribo sobre algo que ya he publicado como hilo en Twitter, pero que quiero desarrollar un poquito más. También, para que quede constancia en mi querido blog. Vamos allá.
Hay ciertas cosas que no deberían oírse en congresos de innovación educativa ni en broma porque no ayudan, pero que se oyen. En concreto:


Si te estás preguntando en qué congreso ocurrió esto, da igual. No importa ni dónde fue, ni quién soltó esa afirmación. Aunque está basado en hechos reales (de hecho, la frase es literal), tampoco importaría que me la hubiese inventado como excusa para escribir esto.

Y es que en el panorama de los congresos y jornadas de innovación se cuelan muchas pseudociencias y opinólogos, que hacen que algunas mesas redondas parezcan más un sálvame educativo (lo que quiera que sea eso, escribo de oídas) que otra cosa. Siempre pongo como ejemplo el tema de las inteligencias múltiples, a ver si desaparece ya de la escena y nos dejan de dar la turra con él. De todas maneras, sobre esto ya escribió Marta Ferrero en su blog, donde encontraréis referencias para tener a mano y, en cualquier caso, aquí solo hace falta el sentido común.

Pero lo del cansancio con los estudios científicos va más allá. Porque lo triste es que después de esta intervención hubo aplausos. Sí, aplausos multitudinarios ante una respuesta capaz de destrozar el cuñadómetro. Evidentemente, las ciencias de la educación, y todas las didácticas específicas, se engloban dentro de las llamadas ciencias sociales, cuyos métodos e investigaciones implican una toma de posición. Así, hay muchas maneras de definir «rendimiento académico» y de evaluarlo. Se asumen unos presupuestos sobre los que, normalmente hay un amplio consenso social, y entonces se investiga. Con los métodos propios de estas disciplinas. Por ejemplo, en educación matemática se puede partir de que los alumnos deben conocerlas con comprensión, incidiendo en los aspectos conceptuales. O no, porque aunque tal como lo he redactado pudiera parecer que sobre eso está todo el mundo de acuerdo, no es así. Siempre está el compromiso entre los aspectos conceptuales y procedimentales (dicho muy a grosso modo). O la diferencia entre enseñar para, sobre o a través de la resolución de problemas.

Lo que NO SE PUEDE HACER es desprestigiar, así a las bravas, los estudios científicos. Mucho menos ante de un auditorio lleno de maestros y profes, tanto en formación como en ejercicio. Porque ya me dirás cómo deja eso a las facultades de educación.



Para que quede claro, y ya termino. Estos trabajos, que tanto cansancio parecen producir, son la única forma de evitar el #amimefuncionismo.

El curso pasado, de septiembre a diciembre de 2017, estuve tuiteando una cita diaria sobre didáctica de las matemáticas con el hashtag #DidMatCita17. Creo que fue algo interesante, que motiva la reflexión y que da a conocer qué es lo que se investiga en el área, trabajos recientes, y alguna propuesta de enseñanza y aprendizaje bien fundamentada. Esta experiencia me resultó enriquecedora, así que voy a tratar de continuar, a otro ritmo, la iniciativa con la etiqueta #DidMatCita, que ya hemos usado (poco, la verdad) @giacoss, @ljrguezmuniz y un servidor durante este 2018 y al que estáis todos invitados a participar. Ya sabéis, si os encontráis leyendo un artículo y pensáis que os ha resultado interesante, o que puede serlo para alguien, basta con una pequeña captura y citar la fuente.
Por otro lado, desde este verano me ha dado por tuitear las actividades que encuentro por ahí y que considero que son ricas. Muchas proceden de #MTBoS o de #iteachmath, así que no es que esté descubriendo nada nuevo. Igualmente, como no me aclaro ni yo mismo y para facilitar la búsqueda he empezado a utilizar el hashtag #AcRiMates (Actividades Ricas de Matemáticas). Y ahí lo dejo.

Sirva como aperitivo el podio de las #DidMatCita17 (las más vistas):

A pesar de que las impresoras en 3D utilizan una tecnología conocida ya desde hace tiempo, es en los últimos años cuando se han comenzado a extender entre el gran público, mostrando un amplio rango de aplicaciones. Las causas de este auge hay que buscarlas, en primer lugar, en lo asequible que resulta adquirir uno de estos aparatos. Para ello, ni siquiera hemos de ir a comercios especializados, basta con acudir a un centro comercial o comprarla en Internet.

Comunidades y clones

Por otro lado, de forma previa y anticipando esta popularización de la tecnología, surgieron comunidades formadas por personas interesadas en la impresión en 3D, tanto a nivel profesional como amateur. En el seno de estas comunidades han ido surgiendo modelos de impresoras cuyo diseño se compartía libremente. De esta forma, alguien que desee construirse una de estas máquinas, puede hacerlo teniendo en cuenta esos diseños, encontrar a alguien que le imprima -normalmente, de manera altruista- las piezas de plástico necesarias, y comprar el resto.

Las máquinas RepRap (Replicating Rapid-prototyper) fueron inventadas por Adrian Bowyer, apareciendo esta idea por primera vez en Internet en 2004 y, no en vano, es en torno a la web RepRap.org que se ha creado la que posiblemente sea la comunidad más importante. El árbol genealógico de la rama española, iniciado por Juan «Obijuan» González Gómez y Andrés Prieto en 2009, puede verse en el Imperio de los Clones.

Y en matemáticas, qué

Aunque esto de las impresoras 3D dé mucho juego -obviamente- en asignaturas como Tecnología, el proceso de fabricación de un objeto está lleno de matemáticas. A continuación, introducimos brevemente algunas tareas que hemos propuesto @crjaso y un servidor (que están descritas en más detalle aquí y aquí):

Montaje de una impresora

@crjaso realizó este proyecto con un grupo de alumnos de 3º de ESO (programa de diversificación) durante todo un curso, persiguiendo objetivos de aprendizaje transversales. Por un lado, para los alumnos participantes:
- Que aplicaran sus conocimientos científico-tecnológicos en el proceso de montaje y calibración de la impresora
- Que desarrollaran su capacidad de expresión en público.
Por otro lado, el taller trata de acercar la tecnología de modelado e impresión en 3D al resto del alumnado del centro, transmitiendo los valores de aprender por aprender y la cultura del software libre. Todos los viernes, durante el recreo, el taller de tecnología se convirtió en un lugar de entrada libre donde se explicaban los progresos.
La apertura del proyecto al resto de alumnado, permitió flexibilizar las actividades para adaptarlas a otros niveles, como programar la impresora para que dibujara. Para ello, se acopló en el cabezal de la impresora un rotulador de forma que esta se podía programar para que dibujara sobre un papel colocado en la base. Puesto que este tipo de impresora es de tipo “cartesiana”, se aprovechó el momento para en el aula dar el tema de funciones y el plano, haciendo hincapié en las coordenadas de los puntos del plano.

Conceptos geométricos

Relacionando geometría, fabricación y probabilidad

Y de paso, articular significado frecuencial y clásico de la probabilidad. En este caso, la tarea la propuse yo con otro grupo de 2º de ESO, de forma voluntaria en la asignatura de matemáticas, durante la unidad didáctica de cuerpos geométricos, aunque el objetivo final era detectar intuiciones primarias erróneas y sesgos en el razonamiento probabilístico de los alumnos. La consigna fue:

Y en educación infantil también

La cuarta y última de las situaciones se realizó con un niño de 5 años de edad (segundo curso de Educación Infantil). La tarea consistió en construir un juego sobre los animales de los polos, para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y la impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos, desde el punto de vista lógico-matemático, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Para terminar

Para saber más, os invitamos a leer el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:
Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

La experiencia del dado está descrita en detalle en este otro artículo: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Curiosidad: en el Imperio de los Clones puede verse que la máquina de Carlos es el clon #409, Vulcano, mientras que la mía es el clon  #541, Vega, descendiente de la de Carlos.

Es curioso cómo la probabilidad sigue siendo una rama de las matemáticas relegada al último tema del curso. Con suerte, porque si el calendario apremia, es lo primero que se descarta, como si fuera algo sencillo o poco útil. Y resulta que ni lo uno ni lo otro, pero esta forma de tratar a la probabilidad y la estadística desde las instituciones fomenta el asentamiento de una serie de concepciones erróneas. Y dichas concepciones son el origen de no pocas dificultades cuando nuestros estudiantes han de vérselas con situaciones en donde la probabilidad tiene algo que decir. Por ejemplo, en la toma de decisiones en contextos de riesgo o cuando se trata de continuar la formación en algunas disciplinas de conocimiento (matemáticas, ciencias de la salud, ciencias de la educación, ingeniería, etc.).

Vamos a dejar de lado la organización del currículo, para centrarnos en tratar aquí los sesgos y errores de razonamiento más comunes.

Heurística de la representatividad

Concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias
Dentro de la heurística de la representatividad, nos encontramos con diversas concepciones erróneas sobre las secuencias aleatorias, ya que muchas personas consideran que una muestra, del tamaño que sea, ha de presentar las mismas características que la población de origen. Es común pensar que participaciones de lotería con secuencias de números “ordenadas”, como 11111 o 12345 son más difíciles de resultar premiadas, cuando la realidad es que su probabilidad es la misma que de cualquier otra combinación. Es el mismo sesgo que lleva a un apostador, que lleva una mala racha, a apostar una vez más porque cree que su suerte tiene que cambiar, que ya toca. Esto último se conoce como falacia del jugador.

Sesgo de equiprobabilidad

Es la creencia en que todos los sucesos de un experimento aleatorio presentan la misma probabilidad, sin tener en cuenta que puedan tratarse de sucesos compuestos o exista alguna asimetría, de carácter geométrico u otro, en la asignación de las probabilidades. Este sesgo se pone de manifiesto fácilmente, ante la pregunta de si es más probable obtener dos cincos o un cinco y un seis en el lanzamiento simultáneo de dos dados. Muchas personan optan por afirmar que sí. Es decir, no tienen en cuenta la descomposición del espacio muestral y la correcta asignación de probabilidades. La combinación formada por un cinco y un seis se puede obtener de dos formas distintas, mientras que el doble cinco solo de una.

Enfoque en el resultado aislado

Ante la pregunta explícita por la probabilidad de un suceso, hay personas que interpretan que tienen que predecir si el suceso en cuestión ocurrirá. Más que de un fallo de razonamiento, se trata de una ausencia de razonamiento probabilístico. Así, estas personas calificarán como seguros sucesos cuya probabilidad se acerque a 1. Por otro lado, los sucesos con probabilidad casi nula serán imposibles para ellos. Tienden a clasificar como aleatorios sucesos con probabilidades en torno a 0,5.
Por ejemplo, al interpretar una predicción meteorológica en la que se dan unas probabilidades de lluvia de un 70%, muchos sujetos indican que lloverá el día en cuestión. Si el día en cuestión no llueve, pensarán que el meteorólogo se equivocó en sus predicciones. Si llueve un 70% de días para los que se pronosticó un 70% de probabilidades de lluvia, pensarán que el meteorólogo es poco fiable.
Los estudiantes con este sesgo muestran verdaderas dificultades para asimilar la noción frecuentista de la probabilidad, pues no comprenden que cada resultado de un experimento aleatorio puede, y debe, estudiarse en el contexto del conjunto de repeticiones


Para saber más

Batanero, C., Chernoff, E. J., Engel, J., Lee, H. S., & Sánchez, E. (2016). Research on Teaching and Learning Probability. The Proceedings of the 12th International Congress on Mathematical Education. Springer Netherlands.

Konold, C. (1991). Understanding Students’ Beliefs About Probability. En E. von Glasersfeld (Ed.), Radical Constructivism in Mathematics Education (pp. 139-156). Dordrecht: Kluwer.

Lecoutre, M. P. (1992). Cognitive models and problem spaces in «purely random» situations. Educational Studies in Mathematics, 23, 557-568.

Serrano, L., Batanero, C., & Ortiz de Haro, J. J. (1996). Interpretación de enunciados de probabilidad en términos frecuenciales por alumnos de bachillerato. Suma, 22, 43–50.

Tversky, A., &  Kahneman, D. (1974). Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases. Science, 185(4157), 1124-1131.



Créditos de imágenes:
Dice, por Steve Johnson.
Poker! por Viri G.
Portland Rain, por Gsloan