Tierra de números

La utilización de las TIC en nuestras clases puede responder a diversos propósitos. Estando claro que no hay que introducirlas porque sí, podemos distinguir entre herramientas generalistas, como Moodle o Edmodo, de carácter organizativo; o Kahoot, con el que se consiguen interacciones de aula que pueden resultar atractivas de cuando en cuando. Sin embargo, la dinámica de uso de todas estas herramientas es la misma sea cual sea la materia. Me explico, da lo mismo si estamos enseñando historia, lengua, música o matemáticas. O lo que sea.
Sin desdeñar estas herramientas (soy el primero en usarlas), siento más interés por otras que sí que afectan en cómo aprenden nuestros alumnos. En los significados que adquieren. El ejemplo más claro en matemáticas es Geogebra. Esta entrada la voy a dedicar a otro software con elementos de geometría dinámica, Desmos, que también añade la posibilidad de plantear secuencias didácticas muy interesantes. Vale, algunas de ellas pueden llevarse a cabo sin TIC, como el polígrafo, sí, pero Desmos lo facilita mucho. Y otras conjugan la potencia de la geometría dinámica con discusiones de aula muy ricas.

¿Qué es Desmos?

Realmente, Desmos se compone de diferentes aplicaciones:
- Una calculadora gráfica. 
- Una calculadora con cuatro campos de entrada que se pueden relacionar de forma interactiva.
- Una calculadora científica.
- Una herramienta de geometría dinámica.
Sin embargo, el factor diferenciador de Desmos son las actividades y secuencias didácticas que ofrece, ya preparadas para su utilización y edición. Comentaremos a continuación las más TOP.

Las canicas

Supongamos que echamos un vistazo a la lista de las actividades más populares y que elegimos Marbleslides: Lines. La descripción inicial indica la duración aproximada (45-60 minutos) e incluye una breve explicación y se clasifica a las actividades por tipos: introducción, desarrollo, para practicar o para aplicar. Marbleslides: Lines es una actividad de desarrollo, con la que los estudiantes pueden profundizar en lo que significan los parámetros de la ecuación de una recta, o cómo expresar restricciones en el dominio de estas. En este caso nos encontramos con una guía para el profesor, imprimible y que refleja una serie de buenas prácticas y consejos para pautar la actividad:

Tips para el profesor.

Aquí, por ejemplo, se señala la conveniencia de comenzar con lenguaje matemático informal e ir incorporando poco a poco respuestas más formales. En otras palabras, puede decirse que el diseño de la actividad tiene en cuenta el proceso de negociación de significados que caracteriza, por ejemplo, al aprendizaje basado en problemas. Es a partir de las tareas propuestas que emergen los objetos matemáticos considerados en los contenidos. El significado de estos objetos difiere según las situaciones, pero también varía entre los individuos y las instituciones de referencia. Así, ante una fracción como 3/4, un alumno puede estar pensando en los 3 trozos que se ha comido de una tarta dividida en 4 partes; mientras que otro directamente piensa en 0,75; y el docente puede estar pensando en el número racional. El diseño de las secuencias didácticas en Desmos reserva momentos para evaluar estos significados personales, permitiendo negociarlos a través de las sucesivas tareas. 

Una de las tareas de Marbleslides: Lines.

Dos posibles soluciones para una pantalla.

No todas las tareas que componen la actividad son iguales. En las primeras pantallas se proporciona la expresión de alguna función lineal y únicamente hay que cambiar algún parámetro. En las siguientes pantallas se trata de predecir lo que ocurrirá si se cambia el parámetro indicado y de comprobarlo. Las respuestas de los estudiantes pasan a estar disponibles para todos los demás, de manera que cuando llega la puesta en común, todos están al corriente de lo que han puesto los compañeros que han llegado antes a esa tarea. Las últimas pantallas son retos (challenges) en los que los alumnos deben introducir las expresiones que consideren oportunas.

Predecir lo que ocurrirá en cada caso y comprobarlo.

Aterrizando el avión (Landing the plane)

El polígrafo

Se trata de un quién es quién en toda regla y es una de las actividades más populares en Desmos, siendo fácilmente editable. De hecho, esto último es la gran ventaja que ofrece respecto a la versión física. Hay polígrafos subidos por otros profesores sobre los más variados contenidos (una búsqueda en septiembre de 2018 devuelve nada menos que 56 polígrafos). 
La siguiente captura de pantalla es del polígrafo de parábolas. Al igual que el quién es quién, se juega por parejas. Es decir, un ordenador para un estudiante o pareja y otro para otro. Conforme se van registrando los alumnos en la actividad, la propia plataforma los va emparejando para jugar. Se juega por turnos, de manera que una vez es un estudiante el que tiene que adivinar el objeto oculto, haciendo las preguntas necesarias. Estas cuestiones deben formularse de forma que se puedan responder con un sí o un no. 

Los polígrafos son una excelente actividad de introducción, ya que permiten evaluar el conocimiento previo del alumnado, qué términos emplean, cómo describen los objetos matemáticos, etc. Por otro lado, también se pueden utilizar como actividad de desarrollo. No en vano, en el linear bundle, en el que se enmarcan la actividad de las canicas y la del avión, se incluyen dos polígrafos, uno como actividad de introducción y otro como desarrollo.

Representando historias gráficamente (Graphing stories)

Unos comentarios finales

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Beltrán-Pellicer, P. (2018). Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en  Desmos. Entorno Abierto, Boletín Digital de la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemática, 24, 4-10.

A pesar de que las impresoras en 3D utilizan una tecnología conocida ya desde hace tiempo, es en los últimos años cuando se han comenzado a extender entre el gran público, mostrando un amplio rango de aplicaciones. Las causas de este auge hay que buscarlas, en primer lugar, en lo asequible que resulta adquirir uno de estos aparatos. Para ello, ni siquiera hemos de ir a comercios especializados, basta con acudir a un centro comercial o comprarla en Internet.

Comunidades y clones

Por otro lado, de forma previa y anticipando esta popularización de la tecnología, surgieron comunidades formadas por personas interesadas en la impresión en 3D, tanto a nivel profesional como amateur. En el seno de estas comunidades han ido surgiendo modelos de impresoras cuyo diseño se compartía libremente. De esta forma, alguien que desee construirse una de estas máquinas, puede hacerlo teniendo en cuenta esos diseños, encontrar a alguien que le imprima -normalmente, de manera altruista- las piezas de plástico necesarias, y comprar el resto.

Las máquinas RepRap (Replicating Rapid-prototyper) fueron inventadas por Adrian Bowyer, apareciendo esta idea por primera vez en Internet en 2004 y, no en vano, es en torno a la web RepRap.org que se ha creado la que posiblemente sea la comunidad más importante. El árbol genealógico de la rama española, iniciado por Juan «Obijuan» González Gómez y Andrés Prieto en 2009, puede verse en el Imperio de los Clones.

Y en matemáticas, qué

Aunque esto de las impresoras 3D dé mucho juego -obviamente- en asignaturas como Tecnología, el proceso de fabricación de un objeto está lleno de matemáticas. A continuación, introducimos brevemente algunas tareas que hemos propuesto @crjaso y un servidor (que están descritas en más detalle aquí y aquí):

Montaje de una impresora

@crjaso realizó este proyecto con un grupo de alumnos de 3º de ESO (programa de diversificación) durante todo un curso, persiguiendo objetivos de aprendizaje transversales. Por un lado, para los alumnos participantes:
- Que aplicaran sus conocimientos científico-tecnológicos en el proceso de montaje y calibración de la impresora
- Que desarrollaran su capacidad de expresión en público.
Por otro lado, el taller trata de acercar la tecnología de modelado e impresión en 3D al resto del alumnado del centro, transmitiendo los valores de aprender por aprender y la cultura del software libre. Todos los viernes, durante el recreo, el taller de tecnología se convirtió en un lugar de entrada libre donde se explicaban los progresos.
La apertura del proyecto al resto de alumnado, permitió flexibilizar las actividades para adaptarlas a otros niveles, como programar la impresora para que dibujara. Para ello, se acopló en el cabezal de la impresora un rotulador de forma que esta se podía programar para que dibujara sobre un papel colocado en la base. Puesto que este tipo de impresora es de tipo “cartesiana”, se aprovechó el momento para en el aula dar el tema de funciones y el plano, haciendo hincapié en las coordenadas de los puntos del plano.

Conceptos geométricos

Relacionando geometría, fabricación y probabilidad

Y de paso, articular significado frecuencial y clásico de la probabilidad. En este caso, la tarea la propuse yo con otro grupo de 2º de ESO, de forma voluntaria en la asignatura de matemáticas, durante la unidad didáctica de cuerpos geométricos, aunque el objetivo final era detectar intuiciones primarias erróneas y sesgos en el razonamiento probabilístico de los alumnos. La consigna fue:

Y en educación infantil también

La cuarta y última de las situaciones se realizó con un niño de 5 años de edad (segundo curso de Educación Infantil). La tarea consistió en construir un juego sobre los animales de los polos, para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y la impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos, desde el punto de vista lógico-matemático, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Para terminar

Para saber más, os invitamos a leer el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:
Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

La experiencia del dado está descrita en detalle en este otro artículo: Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

Curiosidad: en el Imperio de los Clones puede verse que la máquina de Carlos es el clon #409, Vulcano, mientras que la mía es el clon  #541, Vega, descendiente de la de Carlos.

De lo que se entera uno. Ya se pueden escribir ecuaciones en la sintaxis de LaTeX en documentos de MS Word. Para Powerpoint hay una triquiñuela, pero no he conseguido hacerla funcionar con el paquete de idioma español, ya le dedicaremos una entrada diferente.
Vamos a centrarnos ahora en lo que funciona desde la versión 1707 (Build 8326.2058) y posteriores, o sea desde verano de 2017 aproximadamente. Y esto es una novedad, a la que tampoco se le ha dado mucha publicidad, pero para la que existía una potencial comunidad de usuarios que la esperaban como agua de mayo. Facilita enormemente, por ejemplo, el copy-paste de fórmulas de otros sitios. Además, la sintaxis de LaTeX puede parecer extraña al principio, pero es bastante más eficaz para escribir ecuaciones y fórmulas que el seleccionado manual con el ratón a través de múltiples menús.

Cómo funciona 

1- Insertar ecuación y seleccionar modo {}LaTeX


2- En el cuadro de la ecuación, escribir (o pegar) en sintaxis LaTeX la expresión que deseemos. Por ejemplo: \frac{a+b}{c+d}
3- Para ir alternando habrá que darle a "Convertir". Si convertimos a "Profesional", veremos el resultado:
4- Mientras que si convertimos a "Lineal", volveremos a ver la expresión LaTeX que hay detrás de ese renderizado, pudiendo modificarla de nuevo.

Cosas interesantes

Si copiamos una fórmula de estas y pegamos en otra aplicación (editor de LaTeX o un simple notepad), lo que aparecerá será la expresión LaTeX. Maravilloso. Aunque sería todavía mejor si Word permitiese entrar en el modo ecuación tecleando $$ o \[. Todo llegará, supongo. Y otra cosa que tampoco está habilitada en el editor de ecuaciones en modo LaTeX es el empleo de tags como \begin o \end. Dejo aquí una pequeña demo disponible en la web oficial:

Eso que aparece imprimiéndose en la foto de portada, es un dado. Diseñado por un alumno de 2º de ESO. Se trata de una experiencia piloto en primer ciclo de secundaria sobre la enseñanza-aprendizaje de nociones probabilísticas, en la que los alumnos diseñan dados, los imprimen en 3D y posteriormente analizan si son sesgados. La experiencia se enmarca dentro del significado frecuentista de la probabilidad, facilitando su puesta en relación con el significado clásico o a priori.

Para esta experiencia se optó por utilizar Tinkercad, que simplifica la tarea de
diseño. Se planteó como actividad voluntaria en 2º de ESO, prácticamente a final de curso y la consigna inicial fue la siguiente:

La tarea consiste en diseñar un dado con ordenador. Es voluntario y añade
0,5 puntos al examen de geometría. Después, imprimiré en 3D vuestros dados, que
os podréis quedar, y os pediré que los probéis para ver si están o no sesgados. A continuación,
os explico cómo hacerlo.



El diseño de dados no es algo trivial, habiendo propiciado interesantes discusiones en los repositorios de modelos online, como Thingiverse.  Los usuarios han realizado, incluso, pruebas chi-cuadrado de significancia estadística para comprobar el correcto balanceo de los dados. Las conclusiones más relevantes son:

- Los dados con esquinas más redondeadas, evidentemente, ruedan más. Esto es algo que amplifica cualquier sesgo de diseño, lo que constituye una ventaja de cara a nuestros objetivos.
- Si colocamos el dado para que se imprima girado 45º, obtenemos mejores resultados.
- El porcentaje de relleno de los dados influye. El software traductor permite ahorrar plástico, rellenando el interior de la pieza con un mallado rectangular o hexagonal. Se comprueba que es mejor imprimir dados sólidos al 100%.

1. Cuando se indican los puntos con cavidades, no se ha retirado la misma cantidad de material en todas las caras, por lo que unas caras pesan más que otras
2. Un error similar se produce cuando en lugar de retirar material, se añade, con lo que se propicia que se mantenga sobre ciertas caras mayor masa que en otras.
3. No se tiene en cuenta que la suma de las puntuaciones de las caras debería sumar 7 para facilitar el equilibrado del dado (esto está relacionado con el error de tipo 2), como ocurre en los dados estándar.
4. No se centran o alinean los puntos de cada cara, lo cual influye también en la distribución de masa del dado.
5. El dado no presenta las mismas dimensiones en todas sus caras. 

Todo esto se explica con detalle en:
Beltrán-Pellicer, P. (2017). Modelado e impresión 3D como recurso didáctico en el aprendizaje de la probabilidad. Épsilon: Revista de Educación Matemática, 34(95), 99-106.

No es que vayamos a poner a diseñar piezas complejas a los niños, ni que haya que introducir obligatoriamente en el aula la impresión en 3D si nos queremos llamar innovadores, simplemente porque sea una tendencia de moda. Mi visión es que se trata de otro recurso didáctico, que puede introducirse perfectamente como algo natural, pues poco a poco imprimir objetos en 3D será tan cotidiano como imprimir en una hoja de papel. Además, todo esto tiene su interés desde el punto de vista de la educación científica, y de las matemáticas en particular.
Un ejemplo podría ser la situación que se ilustra en las fotografía, que se realizó con un niño de 5 años de edad, escolarizado en segundo curso de Educación Infantil. La tarea, guiada en todo momento por uno de los autores, consistió en construir un juego sobre los animales de los polos (tema del trimestre), para el que se utilizó el software de modelado Tinkercad y una impresora 3D para hacer realidad esos diseños, los cuales se subieron a Thingiverse. Los objetivos didácticos lógico-matemáticos, consistieron en trabajar formas de figuras planas y de cuerpos en el espacio, así como vocabulario propio de medida y de geometría (altura, grosor, espesor, círculo, cilindro, etc.), así como lógico (unión de figuras, diferencia).

Las siluetas bidimensionales de los animales se buscaron en Internet, eligiendo el niño las que más le gustaban de cada animal, teniendo en cuenta las restricciones que se le dieron (que fueran completamente negras, que no tuvieran muchos huecos en el interior, etc. para facilitar su impresión). Posteriormente, se importaban estas siluetas en Tinkercad y se extruían para darles volumen, siendo algo que hacía el niño de forma guiada. Por último, a cada figurita se le añadía un cilindro hueco, seleccionándolo desde las formas predefinidas y modificando el tamaño a conveniencia, uniendo ambos objetos para obtener la figura final.

El uso y la intencionalidad de las prácticas era claro, el diseño y construcción de un juego sobre los animales de los polos. Y algunos objetos matemáticos que se ponen en juego son:
- Conceptos: planta (“silueta”), volumen, traslación, semejanza, cilindro, unión, diferencia lógica.
- Procedimientos: modelado de figuras tridimensionales a partir de la planta (silueta) de un objeto, composición de cuerpos en el espacio uniendo otros más sencillos.
Para saber más, el artículo en extenso en la revista ReiDoCrea:
Beltrán-Pellicer, P. y Rodríguez-Jaso, C. (2017). Modelado e impresión en 3D en la enseñanza de las matemáticas: un estudio exploratorio. ReiDoCrea, 6, 16-28.

No es la primera vez que mi hijo de 4 años me pregunta, intrigado a más no poder, cómo construí la máquina 3D. Le debe parecer increíble el proceso de ver una pieza en la pantalla del ordenador y, luego, observar cómo se va imprimiendo. Cosa que, a su vez, me parece de lo más encantador, sobre todo cuando el chaval no pregunta sobre cómo funcionan los teléfonos, el ordenador, o cosas así. Esto de la impresión en 3D es algo que todavía se sale de lo normal. Y, sin embargo, el funcionamiento de una máquina de estas es simple como el de un botijo. Un chorro de material fundido, plástico, que se va depositando capa a capa hasta modelar una figura. Bueno, igual me he pasado, pero en fin. Antes de que se me olvide la historia, prefiero dejarla aquí para la posteridad y, de esta manera, puede que a alguien le resulte útil.

Razón de ser y árbol (más bien línea) genealógico

La construcción inicial del clon #541 Vega, tiene lugar durante diciembre/enero de 2016. Se inscribe el día 1 de enero de 2016 en el Imperio de los Clones del proyecto RepRap en español, como descendiente del clon #409 Vulcano. La culpa de que finalmente me decidiera a construir una impresora de estas es del maker de Vulcano, crjaso, gran amigo y mejor persona. Y es que Vega es, efectivamente, descendiente de su clon. Literalmente, debido a que todas las piezas de plástico iniciales (engranajes, poleas, extrusor, etc.) fueron imprimidas por Vulcano. Si indagamos un poco en el Imperio de los Clones, la línea genealógica de Vega es la siguiente:



Es decir, a modo de los nombres del Señor de los Anillos, podemos decir: #541 Vega (Pablo Beltrán, Zaragoza, 01/01/2016), hija de #409 Vulcano  (C Rdguez. Zaragoza, 23 de septiembre de 2014), hijo de #307 Golem (Pedro Lahuerta, Cuenca, 10 de enero de 2014), hijo de #228 Proteus (Pedro Lahuerta. Cuenca, 30 de junio de 2013)

Embrión de Vega, a 12 de octubre de 2015.

El caso es que, una vez recibidos los marcos el 25 de septiembre de 2015, voy montando el engendro, con calma. No fue llegar y triunfar, sino que hubo que hacer cierta labor de ajuste mecánico. Por ejemplo, tuve que limar las abrazaderas de los rodamientos de la araña de la cama caliente, porque pegaban con el marco al moverse en el eje Y. Igualmente, creo recordar que algún flex coupling (las piezas sobre las que se acoplan las varillas a los motores del eje Z) venía para otras medidas y hubo que cambiarla. Más allá de esos contratiempos, mucho atornillar y organizar cables, ajustar tensiones de las correas y poco más.

El cerebro de Vega, a 30 de diciembre de 2015

La electrónica, casi me entran escalofríos. Creía que iba a ser lo más fácil para mí. Sin embargo, no me percaté de que la fuente de alimentación, al atornillarla al marco, hacía un ligero cortocircuito, que solamente se manifestaba cuando conectaba el Arduino por USB al ordenador y estaba siendo alimentado por la fuente. Y la manifestación era en forma de humo negro. No me percataría de esto hasta unos meses más tarde. Más allá de las placas quemadas, no fue mayor problema, puesto que con el display LCD y su lector de tarjetas SD incorporado, se podía hacer lo mismo.
Hubo algún problemilla más, pero nada que una pensada, los buscadores o los foros de internet no pudieran resolver. Por ejemplo, los cables planos que van del display al Arduino no estaban aislados electromagnéticamente (bendita EMI), con lo que los envolví en papel de aluminio de forma independiente, con su obligatoria conexión a tierra (0 voltios).

Inauguramos una sección con construcciones geométricas en Geogebra. Aunque lo realmente interesante de esta herramienta, desde el punto de vista de la didáctica, sea el que los estudiantes la manejen para elaborar sus propias escenas, también resulta conveniente disponer de construcciones ya hechas. Así, se pueden emplear para explicar algo sobre ellas en el aula o manipularlas para sacar alguna conclusión.
En este post dejamos el circuncentro, el baricentro, el incentro y el ortocentro de un triángulo y un montón de gifs. Sí, desde Geogebra... ¡se pueden exportar gifs!

Circuncentro de un triángulo

Nuestra pequeña aportación a la Segunda Jornada de Educación Matemática de Aragón ha sido una ensalada-presentación sobre software libre, que se puede descargar aquí.
Han sido muchas las aplicaciones que teníamos que nombrar, así que no hemos podido detenernos en todas las posibilidades didácticas que ofrece cada una. ¡Y seguramente nos habremos dejado alguna!
Habiendo aplicaciones libres para prácticamente cualquier cosa, la idea es buscar qué matemáticas queremos que aprendan nuestros alumnos. Así, ya habéis visto lo que nos gusta el modelado y la impresión 3D.
Bueno, y mención aparte merece el proyecto Vitalinux, punta de lanza del software libre en los centros de Aragón.
Un saludo y hasta la próxima.

Recientemente, para seguir enriqueciendo mi colección de trastos del profesor de matemáticas, me he imprimido un set de sólidos platónicos. A los alumnos siempre les ayuda el poder tenerlos entre las manos y darles vueltas para contar caras, vértices y aristas.

En Thingiverse hay un montón de diseños. He optado por uno normalito, imprimiéndolos en PLA azul con un relleno del 5%, más que suficiente.

Ya en el aula, el tenerlos permite trabajar algo de vocabulario, descubrir la fórmula de Euler para poliedros y plantear situaciones con un soporte manipulativo.

Dejo en el blog un mini tutorial que viene a describir qué se puede hacer con Edmodo y cómo crear nuestro primer grupo. Un grupo viene a ser el equivalente a una clase de alumnos. Os recuerdo que si queréis usar Edmodo con vuestros alumnos, hace poco subí al blog un modelo de carta de autorización.

Es principio de curso y nos planteamos utilizar Edmodo como apoyo al aprendizaje presencial del aula. Muy buena idea, pero antes debemos tener en cuenta ciertos aspectos legales.