Tierra de números

La utilización de las TIC en nuestras clases puede responder a diversos propósitos. Estando claro que no hay que introducirlas porque sí, podemos distinguir entre herramientas generalistas, como Moodle o Edmodo, de carácter organizativo; o Kahoot, con el que se consiguen interacciones de aula que pueden resultar atractivas de cuando en cuando. Sin embargo, la dinámica de uso de todas estas herramientas es la misma sea cual sea la materia. Me explico, da lo mismo si estamos enseñando historia, lengua, música o matemáticas. O lo que sea.
Sin desdeñar estas herramientas (soy el primero en usarlas), siento más interés por otras que sí que afectan en cómo aprenden nuestros alumnos. En los significados que adquieren. El ejemplo más claro en matemáticas es Geogebra. Esta entrada la voy a dedicar a otro software con elementos de geometría dinámica, Desmos, que también añade la posibilidad de plantear secuencias didácticas muy interesantes. Vale, algunas de ellas pueden llevarse a cabo sin TIC, como el polígrafo, sí, pero Desmos lo facilita mucho. Y otras conjugan la potencia de la geometría dinámica con discusiones de aula muy ricas.

¿Qué es Desmos?

Realmente, Desmos se compone de diferentes aplicaciones:
- Una calculadora gráfica. 
- Una calculadora con cuatro campos de entrada que se pueden relacionar de forma interactiva.
- Una calculadora científica.
- Una herramienta de geometría dinámica.
Sin embargo, el factor diferenciador de Desmos son las actividades y secuencias didácticas que ofrece, ya preparadas para su utilización y edición. Comentaremos a continuación las más TOP.

Las canicas

Supongamos que echamos un vistazo a la lista de las actividades más populares y que elegimos Marbleslides: Lines. La descripción inicial indica la duración aproximada (45-60 minutos) e incluye una breve explicación y se clasifica a las actividades por tipos: introducción, desarrollo, para practicar o para aplicar. Marbleslides: Lines es una actividad de desarrollo, con la que los estudiantes pueden profundizar en lo que significan los parámetros de la ecuación de una recta, o cómo expresar restricciones en el dominio de estas. En este caso nos encontramos con una guía para el profesor, imprimible y que refleja una serie de buenas prácticas y consejos para pautar la actividad:

Tips para el profesor.

Aquí, por ejemplo, se señala la conveniencia de comenzar con lenguaje matemático informal e ir incorporando poco a poco respuestas más formales. En otras palabras, puede decirse que el diseño de la actividad tiene en cuenta el proceso de negociación de significados que caracteriza, por ejemplo, al aprendizaje basado en problemas. Es a partir de las tareas propuestas que emergen los objetos matemáticos considerados en los contenidos. El significado de estos objetos difiere según las situaciones, pero también varía entre los individuos y las instituciones de referencia. Así, ante una fracción como 3/4, un alumno puede estar pensando en los 3 trozos que se ha comido de una tarta dividida en 4 partes; mientras que otro directamente piensa en 0,75; y el docente puede estar pensando en el número racional. El diseño de las secuencias didácticas en Desmos reserva momentos para evaluar estos significados personales, permitiendo negociarlos a través de las sucesivas tareas. 

Una de las tareas de Marbleslides: Lines.

Dos posibles soluciones para una pantalla.

No todas las tareas que componen la actividad son iguales. En las primeras pantallas se proporciona la expresión de alguna función lineal y únicamente hay que cambiar algún parámetro. En las siguientes pantallas se trata de predecir lo que ocurrirá si se cambia el parámetro indicado y de comprobarlo. Las respuestas de los estudiantes pasan a estar disponibles para todos los demás, de manera que cuando llega la puesta en común, todos están al corriente de lo que han puesto los compañeros que han llegado antes a esa tarea. Las últimas pantallas son retos (challenges) en los que los alumnos deben introducir las expresiones que consideren oportunas.

Predecir lo que ocurrirá en cada caso y comprobarlo.

Aterrizando el avión (Landing the plane)

El polígrafo

Se trata de un quién es quién en toda regla y es una de las actividades más populares en Desmos, siendo fácilmente editable. De hecho, esto último es la gran ventaja que ofrece respecto a la versión física. Hay polígrafos subidos por otros profesores sobre los más variados contenidos (una búsqueda en septiembre de 2018 devuelve nada menos que 56 polígrafos). 
La siguiente captura de pantalla es del polígrafo de parábolas. Al igual que el quién es quién, se juega por parejas. Es decir, un ordenador para un estudiante o pareja y otro para otro. Conforme se van registrando los alumnos en la actividad, la propia plataforma los va emparejando para jugar. Se juega por turnos, de manera que una vez es un estudiante el que tiene que adivinar el objeto oculto, haciendo las preguntas necesarias. Estas cuestiones deben formularse de forma que se puedan responder con un sí o un no. 

Los polígrafos son una excelente actividad de introducción, ya que permiten evaluar el conocimiento previo del alumnado, qué términos emplean, cómo describen los objetos matemáticos, etc. Por otro lado, también se pueden utilizar como actividad de desarrollo. No en vano, en el linear bundle, en el que se enmarcan la actividad de las canicas y la del avión, se incluyen dos polígrafos, uno como actividad de introducción y otro como desarrollo.

Representando historias gráficamente (Graphing stories)

Unos comentarios finales

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Beltrán-Pellicer, P. (2018). Una introducción a los tipos de actividades que podemos encontrar en  Desmos. Entorno Abierto, Boletín Digital de la Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemática, 24, 4-10.

Vamos a dejar aquí un regalo para el nuevo año. Se trata de un calendario que se construye con los módulos rómbicos de Nick Robinson. Como en todo buen diseño de papiroflexia modular, no hace falta pegamento ni nada. Y además, existe una web con un formulario maravilloso para poder generar el calendario y personalizar cosas como el idioma, el día de comienzo de la semana (hay gente por el mundo que empieza la semana en domingo...). Lo que devuelve es un fichero ps, pero se convierte fácilmente a pdf.
Se trata de un uno de los sólidos de Catalan y tiene la característica de llenar completamente el espacio cuando se reúnen varios de ellos, al igual que los hexágonos teselan el plano.

- Las instrucciones de los módulos son de Nick Robinson y se pueden descargar en creased.
- El formulario para generar los calendarios está en toddsplace.
- También dejo algunos ejemplos de 2019 listos para imprimir que he generado en tamaño A4: blanco, azul.

Para nostálgicos:
- 2018 (tamaño A4): azul, blanco, verde, plata, otro verde.

Como hemos dicho, lo que devuelve es un archivo .ps (postscript), que se puede convertir a pdf en ps2pdf.com.

En pleno proceso de preparación.

Ya que estamos en un blog de educación matemática, añadimos aquí alguna sugerencia para trabajarlo en clase de matemáticas, porque se pueden abordar diferentes niveles y contenidos:
1. Trabajar sobre el lenguaje. Punto, recta, bisectriz, paralela, punto medio, etc.
2. Deducir los ángulos que se forman en el módulo plano.
3. Deducir los anguloides que se forman cuando se ensamblan los módulos.
4. Calcular las dimensiones necesarias del papel original para que el dodecaedro ensamblado tenga una altura determinada.

Primer calendario de estos que monté, en papel «piel de elefante».

Muchas veces andamos como locos buscando nuevos recursos que faciliten el aprendizaje de nuestros alumnos. Sin embargo, otras veces descuidamos materiales cotidianos que resultan muy eficaces para trabajar muchos contenidos.
Un gran ejemplo de esto son las tijeras.

Ejemplo de problema y error típico

Muchos alumnos, de todas las edades, presentan dificultades a la hora de interpretar un problema como el siguiente (sacado de un examen oficial de competencias N-2):

Se quiere pintar las paredes de una habitación, la habitación tiene forma rectangular, el largo de la habitación mide 6 m, el ancho mide 4,5 m, y la altura, 2,50 m. En la habitación hay una puerta de 1,60 m de ancho y 2,10 m de alto y un ventanal cuadrado de 2 m de lado. Si por cada 10 m² necesitamos un litro de pintura y la pintura cuesta 8 € el litro, ¿cuál es el coste de toda la obra?

Y es que no son pocos los alumnos, en este caso personas adultas, que confunden el volumen con el área lateral. Así, nos encontramos con casos en los que la primera operación que se hace es:
Lo cual es un volumen, expresado en m³, al que luego suman el área de la puerta y la ventana.

Una forma sencilla de trabajar el área de un cuerpo en el espacio

Inauguramos una sección con construcciones geométricas en Geogebra. Aunque lo realmente interesante de esta herramienta, desde el punto de vista de la didáctica, sea el que los estudiantes la manejen para elaborar sus propias escenas, también resulta conveniente disponer de construcciones ya hechas. Así, se pueden emplear para explicar algo sobre ellas en el aula o manipularlas para sacar alguna conclusión.
En este post dejamos el circuncentro, el baricentro, el incentro y el ortocentro de un triángulo y un montón de gifs. Sí, desde Geogebra... ¡se pueden exportar gifs!

Circuncentro de un triángulo

Históricamente hablando, está claro que ha costado bastante adquirir el concepto de perspectiva que manejamos hoy en día. Pero, ¿habrán tenido algo que ver las matemáticas? Comenzamos con este artículo una breve serie para tratar de dar respuesta a esta pregunta.

Bisonte del panel principal de Altamira

En la imagen vemos uno de los famosos bisontes de Altamira. Dada la antigüedad de estas pinturas, que datan de hace 14000 años, sorprende la sensación de realismo. Aquí lo consiguen con la utilización de diferentes técnicas. Por un lado, dibujan el animal en lo que se denomina perspectiva uniangular, de forma que el dibujo representa lo que vería exactamente un observador. Esto era un avance brutal, ya que hasta entonces las figuras eran planas o se empleaban perspectivas imposibles, como la denominada perspectiva torcida (biangular recta), en la que el animal se presentaba de perfil, salvo los cuernos u orejas, que aparecían de frente.  Por otro lado, en los bisontes de Altamira se utilizan de manera espectacular las formas de las rocas, para resaltar grupos musculares del animal. Podemos pensar, incluso, que el artista veía el bisonte en el techo antes de pintarlo. Finalmente, destaca el empleo de tintes de diferentes colores.

Recientemente, para seguir enriqueciendo mi colección de trastos del profesor de matemáticas, me he imprimido un set de sólidos platónicos. A los alumnos siempre les ayuda el poder tenerlos entre las manos y darles vueltas para contar caras, vértices y aristas.

En Thingiverse hay un montón de diseños. He optado por uno normalito, imprimiéndolos en PLA azul con un relleno del 5%, más que suficiente.

Ya en el aula, el tenerlos permite trabajar algo de vocabulario, descubrir la fórmula de Euler para poliedros y plantear situaciones con un soporte manipulativo.