Tierra de números

Es muy, pero que muy importante conectar registros y representaciones diferentes de un mismo objeto matemático. Por registros entendemos el registro verbal natural, el gráfico, el simbólico-numérico, el simbólico-algebraico, etc. Por representaciones, por ejemplo, diferentes expresiones algebraicas equivalentes. O diferentes gráficos sobre un mismo problema.

Voy a dejar aquí el material para llevar a cabo una sesión de visualización de descomposición de números, con sus factorizaciones y sus potencias (descargables al final). Se trata del problema de contar cuántos cubos pequeños faltan para completar el cubo grande. A partir de este problema, para lo que me he inspirado en el libro de Problemates de Lluís Segarra (de hecho, la primera configuración que se plantea es exactamente la misma que aparece en el libro).

Antes de realizar la tarea que propongo en esta sesión, es preferible haber realizado alguna más de visualización de operaciones, como la que muestro en la imagen de cabecera. Con los policubos, o regletas, o cualquier otro material, se trata de componer números y escribir las operaciones que conducen a ellos. Viendo que, precisamente, el dos al cubo se llama así porque...¡es un cubo!
Nota: las configuraciones las he dibujado con https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Isometric-Drawing-Tool/, enlace que he compartido con ellos y que hemos usado en clase para ayudar con la visualización. 

El problema de contar cubitos

Dejamos tiempo. De hecho, yo lo propuse como tarea para el siguiente día. Y algunos alumnos consiguieron ver que faltaban 42 cubitos, pero otros no. Así que la siguiente sesión comenzó mostrando una posible visualización, prestando especial atención a la expresión aritmética que representa esa forma de contar.

Y después, la ficha con la tarea. Hay que pintar sobre cada una de las configuraciones y escribir en el recuadro la expresión correspondiente. También les entrego una hoja con un geoplano isométrico para la segunda parte. Conviene observar que esta tarea es un ejemplo claro de atención a la diversidad, cosa que no siempre conseguimos. Los alumnos que visualizan con más facilidad, tienen que buscar más expresiones para una misma configuración. Por ejemplo, contando los que hay en lugar de los que faltan.


DESCARGABLES:
Ficha con el problema de contar cubitos, lista para imprimir.
Geoplano isométrico.

¡Un saludo y feliz clase!

El aprendizaje de los hechos de las operaciones básicas (popularmente conocidos como tablas) ha de realizarse en paralelo o, incluso, de forma posterior, a los campos de problemas que se resuelven con las mismas. En primer lugar, como maestros, no debemos dejar sin abordar determinados problemas de "suma" o de "resta" porque el alumnado no sepa sumar o restar. De hecho, es que si esperamos a que aprendan a sumar y a restar, y no hemos ido trabajando la resolución de problemas, muchos alumnos tienden a jugársela; es decir, tomar los dos números del enunciado y decidirse al azar por una suma o una resta. Tampoco ayuda que, muchas veces, todos los "problemas" de una ficha determinada sean del mismo tipo. El niño o niña, que no es tonto, aprende enseguida a identificar los dos números en juego y a sumarlos (o restarlos).
Dicho esto, a la vez que se trabajan situaciones aditivas y diferentes estrategias, la secuencia de aprendizaje puede incluir actividades como la construcción de la tabla de la suma. En una plantilla como esta, el alumno escribe cada resultado, de manera que los que no conoce, los calcula contando. Una vez terminada, la ficha permite explorar los hechos numéricos; por ejemplo, coloreando aquellas que son equivalentes.
Y hablando de colorear. Una actividad de carácter procedimental para practicar los hechos numéricos que permitirán coger habilidad en el cálculo, pero más motivadora que cantar la tabla, es la de colorear una hoja de cuentas para descubrir un dibujo. Siempre podemos diseñar nosotros mismos estas hojas, pero en la web ColoringSquared hay un montón de fichas descargables en formato pdf para llegar y usar. Y con muchos temas para elegir: Star Wars, superhéroes, Harry Potter, etc.

Bueno, cualquiera, cualquiera, no. Y vaya por delante que el ticket es correcto. Ahora bien, descifrarlo es todo un desafío matemático y puede ser utilizado en el aula. Pero comencemos por el principio, ¿qué es eso de Welcome Pack que aparece tantas veces a lo largo del rollo? Cabe decir que ese día me di alta en una especie de club de ahorro en esa cadena, y por ello, me daban 5 euros de descuento.
Para completar la información, debo decir que los artículos que marcaban descuento por oferta en los expositores, ya salen con el descuento correspondiente aplicado, salvo las que indican Dto Precio Plus, que aparece explícito en el ticket.

Grueso del ticket, para su análisis en clase.

Y todavía se puede exprimir más el ticket. Un poco más abajo, venía la información de la tarjeta de crédito (cosa que, obviamente, he quitado) y los descuentos totales (del programa Plus) y el IVA aplicado. Sí, si nos preguntábamos que son las letras A y B que aparecen al lado de cada producto... es el tipo de IVA. Porque no es lo mismo comprar yogures que queso, por lo menos para los que legislan este tipo de cosas.

Parte final, correspondiente al descuento total y al IVA.

Este ticket, u otro cualquiera, se puede trabajar fácilmente en clase:
- ¿Dónde están los 5 euros de descuento del Welcome Pack?
- ¿Qué descuento me están haciendo en las frambuesas congeladas? ¿Y en el pan gallego?
- ¿El IVA se aplica antes o después de efectuar los descuentos?

El concepto de número complejo no va a surgir como una necesidad real del hombre para conocer y observar el universo, sino de una necesidad puramente algebraica, en el contexto de la resolución de ecuaciones. No obstante, el desarrollo de la teoría de números complejos y, sobre todo, la teoría de funciones complejas, tienen en la actualidad numerosas e importantes aplicaciones a la física y a la ingeniería. Gracias a los complejos se describen las ondas electromagnéticas, los circuitos eléctricos y se llega a ecuaciones como la de Schrödinger, que explican la teoría cuántica del átomo. Se emplean, incluso, en el diseño aeronáutico.

Girolamo Cardano

El primero en introducir los números complejos es Cardano (s. XVI), quien en su obra Ars Magna, explica cómo resolver los diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Por ejemplo, la ecuación $$x^2+1=0$$ no tiene solución en el sistema de los números reales, porque no existe unnúmero real cuyo cuadrado sea -1. A partir de Cardano, se emplearía el símbolo $$\sqrt{-1}$$ para manejar este tipo de soluciones, que aunque fueran manipuladas algebraicamente, se consideraban falsas o carentes de sentido.
Habría que esperar a Euler para dar el primer paso hacia un tratamiento formal y sistemático de los complejos. Hizo una cosa muy sencilla, utilizar el número $$i$$ como $$i=\sqrt{-1}$$, asignándole el mismo estatus de existencia que a los números reales, definiendo sus reglas operacionales.

Carl Friedrich Gauss

A principios del s. XIX, Wessel y Argand introdujeron la representación geométrica de los complejos en el plano cartesiano, de manera independiente. Poco más tarde, todavía en la primera mitad del s. XIX, Gauss y Hamilton propusieron casi al mismo tiempo la idea de definirlos como pares ordenados $$(a,b)$$ de números reales, dotados de ciertas propiedades especiales, tal y como los conocemos actualmente. Por otro lado, Gauss, en su tesis doctoral, demostró el famoso teorema fundamental del álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.
Desde ese momento, se inicia el desarrollo de la teoría de funciones complejas, de la mano de Hamilton y Cayley, quienes además crearon los sistemas hipercomplejos. Cauchy, por otro lado, sienta las bases del cálculo diferencial e integral de funciones complejas y el matemático alemán Riemann profundizaría en el estudio de la geometría partiendo de los números complejos, originando la topología.

Créditos:
Imagen de Cardano: http://wellcomeimages.org/indexplus/obf_images/ae/d3/8753d7ad74cb086ba79ccfc75e7f.jpg

No sabía muy bien cómo titular esta entrada. Más que nada, porque en cada sitio se les ocurre un nombre distinto para este juego. Con mi hermana, de pequeños, siempre lo llamábamos el juego del chip, pero en Wikipedia, aparece como Chi. El caso es que se trata de un juego de rapidez y reflejos, que podemos aprovechar para practicar el dominio del recitado de la secuencia numérica en progresivo y en regresivo. Con niños a partir de tres años ya se puede probar, sobre todo, dependiendo del tipo de baraja que usemos, como comentaremos al final.

Reglas del juego

Es un juego para dos jugadores, gana el primero que se descarta y el mecanismos es el siguiente:
1- Al comienzo, se reparte la mitad de la baraja a cada jugador.
2- Cada jugador coloca las cuatro primeras cartas de su mazo, boca arriba, enfrente suyo.
3- Cuando se ponen de acuerdo en empezar (tiene que ser a la vez para que no haya discusión posible), cada jugador toma una carta de su mazo (que puede mantener en su mano, pero sin verlo ni reordenarlo) y la pone en el centro de la mesa, a su derecha.
4- A partir de ahora, cada jugador lucha por quitarse sus cartas, colocando una de sus cuatro cartas sobre uno de los montones del centro, cualquiera de los dos. Para ello, dicha carta tiene que ser el siguiente o el anterior a la carta sobre la que la pone.
5- Si en un momento determinado las cartas de ambos montones coinciden, el jugador que se percate podrá gritar chip (chi, chin, chis o cualquiera que sea la variante regional). En ese caso, el otro jugador se lleva los dos montones.
6- Si ninguno de los jugadores puede colocar ninguna carta, vuelve a tomar su montón. Por eso, en caso de tener dos opciones, conviene endiñar las cartas al montón del otro.

El jugador de la parte inferior, a punto de gritar chip.

Como recurso didáctico

La realización de esta fantástica máquina de sumar es cosa de los tíos de mis pequeñuelos, que se han ganado un puntazo. Ellos tomaron la idea hace tiempo del blog Imágenes educativas, pero al final les ha quedado algo diferente.

La máquina consiste en dos tubos que convergen en forma de "Y". Por cada agujero de entrada se introducen los sumandos, como bolitas, garbanzos o judías, y en la bandeja inferior se recoge el resultado. Por supuesto, de máquina tiene poco, porque el niño debe contar para obtener el resultado.

Cumple su función didáctica estupendamente. Por un lado, si la máquina se le presenta al niño como algo sofisticado, o incluso mágico, es algo que le va a encantar. Y, por otro lado, permite desarrollar su sentido numérico. Así, el niño se introduce en una de las técnicas para sumar más básicas: agrupamiento y conteo. Ya habrá tiempo para técnicas más avanzadas.


Además, si el niño ya sabe escribir números,puede tratar de anotar los números que va metiendo y lo que obtiene en cada caso. Esta tarea, que a un adulto le podría resultar pesada (a quién se le ocurre anotar números), forma parte del juego de la máquina. Resulta gracioso e interesante comproba cómo se sorprenden cuando obtienen el mismo resultado sumando diferentes cantidades (5+2=6+1=4+3).

Curioso juego que nos describen en el blog Be the thread. Aunque en la foto hayamos empleado regletas de Cuisenaire, de las que ya hablaremos en posteriores artículos, se puede jugar con piezas de construcción o con cualquier juego de bloques. Casi mejor si los bloques pueden unirse, aunque da igual. Si no se unen, se trabaja también la psicomotricidad fina ;).

Con este juego se trabaja el conteo, al tener que montar las torres, la identificación de los símbolos numéricos y la suma. No es obligatorio sumar para jugar a este juego, como se ve en las instrucciones, pero si se suma, se quitan más cubiletes.

¿Qué necesitamos para jugar a Torres de números (Towers Up)?

¿Cómo se juega? 

Primero se monta el chiringuito, apilando los bloques según marca la hoja. Después, por turnos, se van tirando los dados para retirar las torres. Si se obtiene un 3 y un 5, se puede quitar una torre de 3 y una de 5, o dos de 4.

El juego acaba cuando se quitan todas las torres. Puede jugarse en plan solitario, en plan colaborativo (todos ganan cuando se quitan las torres) o en plan competitivo (gana el que más cubiletes haya quitado).

The Very Hungry Caterpillar (Eric Carle, 1969) es un libro para niños pequeños que es una delicia. En español se conoce como La oruga muy hambrienta. Va dirigido a edades de entre 3 y 6 años, pero no pasa nada por disfrutar de él a partir de los dos añitos.

El autor, Eric Carle, ha publicado diferentes versiones del cuento, consciente del exitazo que es. En casa tenemos el libro desplegable, que invita todavía más a ser tocado y manoseado, por lo que hay que estar más atentos cuando lo leemos con niños especialmente movidos. Lo tenemos en inglés, fundamentalmente porque estas cosas suelen estar más baratas en ese idioma.

Además de disfrutar pasando sus hojas, el libro trabaja una serie de conceptos importantes.

Fin de la metamorfosis, una preciosa mariposa.

Los fragmentos de películas y series ofrecen una excelente oportunidad para introducir y trabajar conceptos matemáticos, cosa que iremos profundizando en otros artículos.

Por otro lado, esto de ser padre me ha convertido en fan de alguna serie de dibujos animados, como Peppa, y terminar odiando otras. Lo mejor de Peppa Pig es que de vez en cuando guarda algún chiste para los sufridos papás. En el capítulo 4x02 La casa nueva, me llamó la atención la forma tan clara que tiene Peppa de enseñar la noción de proporción, sin que se note siquiera un atisbo de intencionalidad didáctica.


A la hora de aplicarlo en clase no hace falta ver el capítulo entero. Únicamente las partes que nos interesen. Posteriormente, se les propone a los alumnos que dibujen un diseño sencillo, con líneas rectas y a escala. Finalmente, mediante bloques de construcción deben construir su diseño, de forma que sea proporcional a lo dibujado.